$$F^{-1}[/latex] n'est PAS une primitive de [latex]f^{-1}[/latex] (dans le cas général) lorsque F est une primitve de f. La formule générale est: [latex](f^{-1})'=\dfrac1{f'of^{-1}}$$
Ton égalité tourne en rond. En effet, en posant G une primitive de $f^{-1}$ et F une primitive de f, en en supposant que toutes les égalités ci-dessous sont valides et ont un sens, ton égalité:
$$\int_{0}^{f(a)}f^{-1}(t)dt=a.f(a)-\int_0^af(t)dt$$
s'écrit:
G(f(a))-G(0)=a.f(a)-(F(a)-F(0))

En la dérivant par rapport à 'a' (et encore une fois en supposant que tout a un sens mathématiquement parlant), on obtient:
$$G'(f(a)).f'(a)=f(a)+a.f'(a)-F'(a)$$
Puisque $G'=f^{-1}$ et $F'=f$, on a:
$$f^{-1}(f(a)).f'(a)=f(a)+a.f'(a)-f(a)$$
Soit: $[f^{-1}(f(a))-a].f'(a)=0$

Et toujours si c'est valide (f'(a) différent de 0):

$f^{-1}(f(a))=a$.

Magnifique non?

Je ne vois pas tellement de façon d'exprimer la réciproque d'une fonction en passant par son intégrale de façon générale...

Une très bonne, d'ailleurs !

Oui mais bon d'abord je suis en Terminale OK! et deuxièmement les maths ne font pas partis de mon onanisme intellectuel. Donc même si je m'interesse à çà je ne suis pas prêt de devenir quelqu'un qui de la finesse je suis beaucoup trop bourrin pour ce genre de chose.

Quoiqu'il en soit j'aimerai bien arrivé au bout de ma recherche donc je prends tout ce que l'on me dit c'est tout benef pour moi

Shadock 

Mon prof m'a dit que c'était une très bonne idée mais inutilisable. Le mieux c'est les séries...donc j'abandonne cette petite recherche parce que les séries comment dire...

Le problème est qu'une des bornes dépend de $f$ qui figure aussi dans l'intégrale , il y a donc une fonction composée qui traîne quelque part .

C'est ce que j'ai voulu dire dans mes précédentes interventions

Vasimolo