Je sais qu'on peut le faire selon la droite d'équation y=x

Mais moi je ne cherche pas à savoir à quoi elle ressemble mais quelle est son équation. Si je cherche la fonction réciproque de $\sum_{i=1}^5 a_i*sin(x-\frac{\pi}{3})^{2i+3}$ je fais quoi? ^^

Au départ je pensais que ma méthode serait très pratique sauf que quand on essaye... donc si il y avait un courageux capable de m'aider je lui en serait très reconnaissant

Shadock

@Shadock

Quelle est la dérivée de $g(x)=\int_0^{f(x)}f^{-1}(t)dt$ ?

Vasimolo

Le problème est que la borne supérieure de l'intégrale dépend de $x$ mais n'est pas $x$

Si tu notes $h(x)=\int_0^xf^{-1}(t)dt$ alors on a bien  $h'(x)=f^{-1}(x)$ .

Si $g(x)=\int_0^{f(x)}f^{-1}(t)dt=h\circ f(x)$ alors $g'(x)=h'\circ f(x).f'(x)=x.f'(x)$

Si tu prends $f(x)=x$ , pas de problème $g'(x)=x.1=x$ mais pour $f(x)=x^2$ , $g'(x)=2x^2\neq x.$

Vasimolo

En fait je ne vois pas trop où tu veux en venir et il me semble qu'il y a des problèmes dans tes formules :

$\int_0^{f(x)}f^{-1}(t)dt=F^{-1}(f(x))-F^{-1}(0)$

Si $F^{-1}$ désigne une primitive de $f^{-1}$ , c'est faux !

Si $F$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $0$ , il me semble que :
$$\int_0^{f(x)}f^{-1}(t)dt=xf(x)-F(x)$$
Ce qui ne permet pas d'obtenir une primitive de $f^{-1}$ mais je ne suis pas sûr d'avoir vraiment compris ce que tu cherches 

Vasimolo

Le problème est qu'une des bornes dépend de $f$ qui figure aussi dans l'intégrale , il y a donc une fonction composée qui traîne quelque part .

C'est ce que j'ai voulu dire dans mes précédentes interventions

Vasimolo

Mon prof m'a dit que c'était une très bonne idée mais inutilisable. Le mieux c'est les séries...donc j'abandonne cette petite recherche parce que les séries comment dire...

Oui mais bon d'abord je suis en Terminale OK! et deuxièmement les maths ne font pas partis de mon onanisme intellectuel. Donc même si je m'interesse à çà je ne suis pas prêt de devenir quelqu'un qui de la finesse je suis beaucoup trop bourrin pour ce genre de chose.

Quoiqu'il en soit j'aimerai bien arrivé au bout de ma recherche donc je prends tout ce que l'on me dit c'est tout benef pour moi

Shadock 

Une très bonne, d'ailleurs !

$$F^{-1}[/latex] n'est PAS une primitive de [latex]f^{-1}[/latex] (dans le cas général) lorsque F est une primitve de f. La formule générale est: [latex](f^{-1})'=\dfrac1{f'of^{-1}}$$
Ton égalité tourne en rond. En effet, en posant G une primitive de $f^{-1}$ et F une primitive de f, en en supposant que toutes les égalités ci-dessous sont valides et ont un sens, ton égalité:
$$\int_{0}^{f(a)}f^{-1}(t)dt=a.f(a)-\int_0^af(t)dt$$
s'écrit:
G(f(a))-G(0)=a.f(a)-(F(a)-F(0))

En la dérivant par rapport à 'a' (et encore une fois en supposant que tout a un sens mathématiquement parlant), on obtient:
$$G'(f(a)).f'(a)=f(a)+a.f'(a)-F'(a)$$
Puisque $G'=f^{-1}$ et $F'=f$, on a:
$$f^{-1}(f(a)).f'(a)=f(a)+a.f'(a)-f(a)$$
Soit: $[f^{-1}(f(a))-a].f'(a)=0$

Et toujours si c'est valide (f'(a) différent de 0):

$f^{-1}(f(a))=a$.

Magnifique non?

Je ne vois pas tellement de façon d'exprimer la réciproque d'une fonction en passant par son intégrale de façon générale...