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	Forum » Enigmes Mathématiques » Les suites de Kuzrassi Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=cogito]Soit n un nombre impair et non divisible par 3. Nous avons n qui a pour antécédent 3 n + 1 qui est pair. Posons [latex]3n + 1 = 2^e * i[/latex] (où i est impair) alors : [latex]2^e * i[/latex] ne peut pas être obtenu à partir de [latex]3(2^e * i) + 1[/latex], car comme [latex]3(2^e * i) + 1[/latex] est impair il donne le nombre [latex]6(2^e * i) + 2[/latex]. Donc si [latex]2^e * i[/latex] a un antécédent alors c'est forcément [latex]2^{e-1} * i[/latex] On a plusieurs sous cas, -e = 0 alors n a i pour antécédent et donc n n'est pas un Kuz. -e = 1 alors n a comme antécédent 2 * i et i, comme i est impair alors n n'est pas un Kuz. -e = 2 alors n a comme antécédent 4 * i, 2 * i et i, donc n n'est pas un Kuz non plus. -e > 2 alors les seuls antécédent de n sont[latex]2^e * i, 2^{e-1} * i, 2^{e-2} * i[/latex] et ils sont tous pair, donc n est un Kuz. Ainsi tous les nombres de la forme [latex]{{2^e * i - 1}\over 3}[/latex], avec e > 2, sont des Kuz. Si i est de la forme 3 k + 1 alors e est pair, et si i est de la forme 3k+2 alors e est impair, (i ne peut pas être un multiple de 3 car 2^e * i est le résultat de 3n +1) donc les nombres de Kuz sont les nombres de la forme : [latex]{{16 * 4^e(3k+1) -1}\over 3}[/latex] ou [latex]{{84^e(3k+2) -1}\over 3}[/latex] pour tout couple d'entier (e,k). Par exemple 5 et donnée par les deux formule pour e = 0 et k = 0 et 29 est donnée par la formule de droite avec e = 0 et k = 3. Les suites de Kuzrassi ne contiennent pas de multiples de 3 car les multiples de 3 impairs n'ont pas d'antécédent et les multiples de trois pairs sont forcément obtenus à partir d'un multiple de 3 impair que l'on a multiplié un certain nombre de fois par deux. En fait les multiples de 3 apparaissent uniquement dans les suites de la forme 3 2^k. Une suite de Kuzrassi ne peut pas tourner en boucle car : -elle ne peut pas revenir sur son premier terme car celui-ci n'a pas d'antécédent impair. -Soit x un nombre de la suite. si x est impair alors on ne peut l'obtenir que d'une seule manière possible (avec l'opération (y - 1)/3). Si x est pair alors il ne peut être obtenu que par l'opération 2y (car si x est pair, 3 x + 1 est impair, et donc on applique pas à ce nombre l'autre opération.) Donc on ne peut pas avoir deux branches différentes qui arrive sur x. Les suite de Kuzrassi ne peuvent pas stagné non plus car : 2x = x a pour solution x = 0 et (x-1)/3 = x a pour solution -1/2. Donc les suites de Kuzrassi ne sont pas stagnantes et ne tournent pas en boucle, elle sont donc infinis. Si on applique Syracuse à un nombre appartenant à une suite de Kuzrassi, on finira par atteindre le Kuz qui a engendré la suite, donc deux suites générés par deux Kuz différents ne peuvent pas avoir de termes en communs. Voilà, ça devrait être mieux maintenant :)[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez à la devinette suivante : Le père de toto a trois fils : Pif, Paf et ? Retour Résumé de la discussion nodgim 15-08-2013 09:08:20 Bonjour à tous. Les suites de Kuzrassi sont définies ainsi: Soit u0, nombre initial impair non divisible par 3 qui n'a pas d'antécédent IMPAIR dans la suite. u(n+1)= (un-1)/3 si un pair, si (un-1)/3 entier et si (un-1)/9 non entier. Sinon u(n+1)=2*un. Les nombres initiaux de ces suites sont dits des Kuz. 1 est il un Kuz ? Trouver des Kuz. Trouver tous les Kuz. 2 suites Kuz(rassi) indépendantes peuvent elles avoir des nombres en commun ? Les suites Kuz sont elles infinies ? Les suites Kuz contiennent elles des multiples de 3 ? Une suite Kuz peut elle tourner en boucle ? Pour un nombre quelconque faisant partie d'une suite Kuz, quel est son devenir si on lui applique l'algorithme de Syracuse ? Les questions posées ne trouveront pas forcément des réponses dans l'ordre où elles sont posées. Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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