Un nombre initial, ou kuz, est un nombre qui n'a pas d'antécédent dans la suite de kuzrassi.

Cogito, si un kuz était un multiple de 3, alors son double aussi, et le double de son double. Dans ce cas, aucun 3n-1 ne pourrait être divisible par 3, et la suite ne contiendrait que 3n*2^k.
Ce n'est pas l'esprit de l'enigme proposée. Quoiqu'il en soit, je vais préciser dans l'énoncé qu'on exclut les 3n comme kuz.

Oui, Cogito, c'est bien comme ça qu'il faut le comprendre.

Non Cogito.
Par exemple, quel est l'antécédent de 5 ?

Mince alors, j'ai fait un sérieux contre sens !
Il faut lire:
u(n+1)= (un-1)/3 si un pair, si (un-1)/3 entier et si (un-1)/9 non entier. Sinon u(n+1)=2*un.

J'ai corrigé l'énoncé. Merci kossi_tg.
Et toutes mes excuses à ceux qui ont déja réfléchi dessus, dont Cogito.

fix33 vient de trouver un kuz: 29. En effet 29 n'a pas d'antécédent impair. Pourquoi ? (la question s'adresse à tous, Fix33 ayant compris). 
Autant dire que ce n'est pas le plus petit (il y en a 1 avant) ni le plus grand...

Dans l'énoncé, j'aurais dû préciser qu'un Kuz n'a pas d'antécédent IMPAIR, car n'importe quel nombre impair n a un antécédent qui est 3n+1.

Fix33, il n'y pas de nombres négatifs dans ces suites, on travaille seulement dans N, mais c'est sans doute à cause de l'imprécision de l'énoncé.
1 n'est pas un kuz, il a un antécédent impair. Lequel ?

Sinon, c'est bon pour les autres réponses, sauf pour la boucle (mais c'est peut être encore l'énoncé qui a pêché).

j'ai une autre question qu'est-ce qu'on appelle un antécédent exactement ? 

Par exemple dans la suite :

5 10 20 40 13 ...

40 est l'antécédent ou un antécédent de 13, autrement dit, est-ce qu'on peut considérer 5 comme un antécédent de 13 ?

Oui Cogito, 5 est bien l'antécédent impair de 13, l'antécédent de 13 étant bien 40, l'antécédent de 40 est 20, celui de 20 est 10, celui de 10 est 5. Quel est l'antécédent impair de 5 ?

Je ne crois pas du tout en une caractérisation simple des têtes de Kuz

En fait on remonte les suites de Syracuse à l'envers et l'arrêt peut se faire sur un entier pair ou impair . Si cet entier est impair on a un Kuz s'il est pair le Kuz est son premier successeur impair et là , il y a beaucoup de travail

En fait on prend Syracuse à l'envers , c'est une approche amusante mais les problèmes rencontrés vont être les mêmes dans les deux versions

Vasimolo

Oui Cogito c'est bien ça.

Soit n un nombre impair et non divisible par 3.
Nous avons n qui a pour antécédent 3 n + 1 qui est pair.

Posons  [latex]3n + 1 = 2^e * i[/latex]  (où i est impair) alors :
[TeX]2^e * i[/latex] ne peut pas être  obtenu à partir de [latex]3(2^e * i) + 1[/latex], car comme  [latex]3(2^e * i) + 1[/latex] est impair il donne le nombre [latex]6(2^e * i) + 2[/latex]. Donc si [latex]2^e * i[/latex] a un antécédent alors c'est forcément [latex]2^{e-1} * i[/TeX]
  On a plusieurs sous cas,
        -e = 0 alors n  a i pour antécédent et donc n n'est pas un Kuz.
        -e = 1 alors n a comme antécédent 2 * i et i, comme i est impair alors n n'est pas un Kuz.
        -e = 2 alors n a comme antécédent  4 * i, 2 * i et i, donc n n'est pas un Kuz non plus.
        -e > 2 alors les seuls antécédent de n sont[latex]2^e * i, 2^{e-1} * i, 2^{e-2} * i[/latex] et ils sont tous pair, donc n est un Kuz.

Ainsi tous les nombres de la forme [latex]{{2^e * i - 1}\over 3}[/latex], avec e > 2, sont des Kuz. Si i est de la forme 3 k + 1 alors e est pair, et si i est de la forme 3k+2 alors e est impair, (i ne peut pas être un multiple de 3 car 2^e * i est le résultat de 3n +1) donc les nombres de Kuz sont les nombres de la forme :
[TeX]{{16 * 4^e(3k+1) -1}\over 3}[/latex]    ou   [latex]{{8*4^e(3k+2) -1}\over 3}[/TeX]
pour tout couple d'entier (e,k).

Par exemple 5 et donnée par les deux formule pour e = 0 et k = 0 et 29 est donnée par la formule de droite avec e = 0 et k = 3.


Les suites de Kuzrassi ne contiennent pas de multiples de 3 car les multiples de 3 impairs n'ont pas d'antécédent et les multiples de trois pairs sont forcément obtenus à partir d'un multiple de 3 impair que l'on a multiplié un certain nombre de fois par deux.  En fait les multiples de 3 apparaissent uniquement dans les suites de la forme 3 * 2^k.

Une suite de Kuzrassi ne peut pas tourner en boucle car :
   -elle ne peut pas revenir sur son premier terme car celui-ci n'a pas d'antécédent impair.
   -Soit x un nombre de la suite.  si x est impair alors on ne peut l'obtenir que d'une seule manière possible (avec l'opération (y - 1)/3). Si x est pair alors il ne peut être obtenu que par l'opération 2y (car si x est pair, 3 x + 1 est impair, et donc on applique pas à ce nombre l'autre opération.)
Donc on ne peut pas avoir deux branches différentes qui arrive sur x.

Les suite de Kuzrassi ne peuvent pas stagné non plus car :
      2x = x a pour solution x = 0 et (x-1)/3 = x a pour solution -1/2.

Donc les suites de Kuzrassi ne sont pas stagnantes et ne tournent pas en boucle, elle sont donc infinis.

Si on applique Syracuse à un nombre appartenant à une suite de Kuzrassi, on finira par atteindre le Kuz qui a engendré la suite, donc deux suites générés par deux Kuz différents ne peuvent pas avoir de termes en communs.

Voilà, ça devrait être mieux maintenant

Aaarrrggghh ! ma formule est fausse !

[latex]2^e * i[/latex] a un antécédent si ([latex]2^{e-1} * i - 1[/latex] est un multiple de 9 ou si [latex]2^{e-1} * i - 1[/latex] n'est pas un multiple de 3) et (e > 1).

donc pou e > 2   on sait que [latex]2^e * i[/latex] est congru à 1 modulo 3, donc [latex]2^{e-1} * i[/latex] est congru à 2 modulo 3 et est donc un antécédent pair de n. De même [latex]2^{e-2} * i[/latex] est congru à 1 modulo 3, donc [latex]2^{e-2} * i - 1[/latex] est un multiple de trois. à partir de là on a deux cas :
    cas 1 : [latex]2^{e-2} * i - 1[/latex] n'est pas un multiple de 9 alors [latex]2^{e-1}*i[/latex] n'a pas d'antécédent, et donc n est un Kuz.
   cas 2 : Mais si [latex]2^{e-2} * i - 1[/latex] est un multiple de 9 alors [latex]2^{e-1}*i[/latex] a pour antécédent  [latex]2^{e-2} * i[/latex]  qui a lui même pour antécédent  [latex]2^{e-3} * i[/latex] qui lui peut être impair.

Donc il faut distinguer encore 2 cas :

cas 1 : n est de la forme 3k+1 et donc 3n+1 vaut 9k+4 et on a donc
[latex]2^e*i \equiv 4 [9][/latex] ce qui est équivalent à [latex]4*2^{e-2}*i \equiv 4 [9][/latex], comme 4 et 9 sont premiers entre eux, on peut simplifier par 4 et on obtient [latex]2^{e-2}*i \equiv 1 [9][/latex].
Donc si n est de la forme 3k+1 et e = 3 alors n n'est pas un Kuz.
Si e > 3 on a  [latex]16*2^{e-4}*i \equiv 4 [9][/latex] ce qui est équivalent à [latex]2^{e-4}*i \equiv 7 [9][/latex] donc comme [latex]2^{e-4}*i[/latex] n'est pas un multiple de 9, c'est  un antécédent de  [latex]2^{e-3}*i[/latex] seulement si e > 4.
Donc si n est de la forme 3k+1, c'est un Kuz si e > 4.

cas 2 : n est de la forme 3k+2 et donc 3n+1 vaut 9k+7 et on a donc [latex]2^e*i \equiv 7 [9] \Leftrightarrow 4*2^{e-2}*i \equiv 7 [9][/latex], ceci donne [latex]2^{e-2}*i \equiv 4[9][/latex] et donc [latex]2^{e-2}*i[/latex] n'est pas un antécédent de n.
Donc si n est de la forme 3k+2 alors n est un Kuz si e > 2.

Tous ça c'est pas fait pour simplifier la formule