Ne connaissant pas (encore) le principe des complexes, je m'attaque aux réels
Si Y fait la suite Un=(-1)^n, il ne converge ni ne diverge je pense, il gagne donc
Ce qui fait que X n'a pas de moyen de gagner... Tout reponsant évidemment sur la phrase "sinon, Y gagne" !
Pour que X gagne, il faudrait qu'au premier coup il mette 0 et qu'Y mette n'importe quel nombre, mais je pense que le terme "converge" ne peut s'appliquer que sur un certain nombre de points !

Cette énigme m'interpelle.
Je ne pense pas que l'on puisse y répondre.
En effet pour établir la convergence d'une suite, il faut regarder tous les termes (à partir d'un certain rang). Il n'est donc pas possible d'établir qu'une suite converge avec simplement un nombre fini de termes.
A partir de la comment peut-on appliquer les assertions permettant de savoir qui gagne?
X pourrait choisir constamment 0 par exemple.
Dans ce cas pour ne pas perdre, Y pourrait choisir les entiers successivement. A ce moment là on pourrait déclarer Y gagnant. Mais au moment où l'on déclarerait cela, X dirait: pas du tout, je choisis 1 pour prochain terme: Sa suite ne donne plus l'impression de converger vers 0 alors que celle de Y diverge. On devrait déclarer X gagnant. Auquel cas Y dirait pas du tout, je vais bientôt me stabiliser.

Enfin pour moi on ne peut pas répondre car la réponse demande la connaissance à priori d'un nombre infini de terme que l'on ne connait qu'au fur et à mesure.

Il y a bien une réponse, et les joueurs peuvent effectivement modifier à tout moment leur stratégie.

L'idée est de trouver une unique stratégie, qui restera la même tout au long du jeu, qui, pour X ou pour Y, permette en fonction des coups de l'adversaire de gagner forcement. Et donc qu'au moins l'un des deux n'ait pas à changer sans cesse sa stratégie, ce qui effectivement empêcherait de savoir qui gagne à la fin. Mais même sans savoir qui, il y a à la fin un gagnant puisqu'une suite ne peut pas être autre chose que convergente ou divergente.

Dans tous les cas, il y en a bien un des deux (et un seul, donc) qui peut mettre au point une stratégie gagnante.

Exemple:
X peut décider de mettre 1 à son n-ième coup si les deux coups précédents de Y étaient à plus de 1/(2^n) de distance l'un de l'autre, et 0 sinon. Mais là Y pourra trouver un moyen de converger en laissant X faire des 1

Y peut décider d'avancer de 1 quand le dernier coup de X était à 0 ou au moins moitié plus petit que l'avant dernier coup, et rester en place sinon. Mais là encore y'a des contre stratégies faciles...

Où est la solution miracle ?

Il faut certainement utiliser une logique systématique pour résoudre cette énigme.
"Choisir un nombre chacun son tour" aurait peu de sens sinon, puisque X et Y doivent choisir une infinité de nombres pour que l'on puisse parler de convergence (ou divergence). Enfin bref,...

Tout d'abord, si X fait converger sa suite vers 0, alors Y fait diverger sa suite et gagne.
X doit choisir de ne plus faire converger sa suite vers 0 pour gagner. Mais Y fait converger sa suite et REgagne.

Donc, comme précédemment, X est obligé de faire converger sa suite vers 0 pour gagner. Alors, Y fait diverger sa suite, etc.

On obtient 2 suites X et Y divergentes.
Donc Y gagne.

Bonsoir,

Désolé, j'arrive un peu tardivement, et en plus avec une démo à peine esquissée  ...



La suite [latex]z_n[/latex] sert à référencer les valeurs à partir desquelles on pense ou on espère que [latex]\forall p,q>z_n, |y_p-y_q|<2^{-n}[/latex]

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PS y a t'il un moyen d'uploader directement un fichier pdf depuis une machine personnelle ?

Bravo à Tromaril dont la solution a bien l'air de marcher ^^

C'était bien X qui pouvait gagner, il y avait bien une solution <3

Pour une solution un peu plus élégante, il me semble que la suite (xn) définie comme
xn = [1/n * somme( yk , k allant de 1 à n )] - yn fonctionne.

(La différence entre la moyenne de Cesaro de (yn) et son dernier terme)

L'idée étant bien de définir (xn) en fonction des variations de la suite (yn).
Klimrod était pas si loin <3

Si vous voulez une démonstration vous avez qu'à chercher, na.

Merci d'avoir joué.

Je vois ce que tu veux dire, mais même si on ne peut pas savoir à priori si la suite de Y va converger ou diverger, elle va tout de même faire l'un ou l'autre, par définition.
A moins de considérer que c'est le jeu est réel, et donc que chaque coup dure un certain temps, et donc qu'il est absurde de considérer le jeu comme durant à l'infini (ce qui est nécessaire pour pouvoir dire si une suite converge, puisque les suites sont infinies..), Y sera soit convergente soit divergente.

Après on peut l'entendre comme on veut, mais ça reste une énigme mathématique.
Si on garde le point de vue réel, Y pourrait faire sa suite en lançant à chaque tour un dé à 1000 faces, et on ne pourrait pas conclure même s'il est évident que sa suite diverge, puisqu'on n'aurait accès qu'à un nombre fini de coups...

En partant de l'idée convergence = suite de Cauchy, on sait que Y est divergente s'il existe un e>0 tel que pour tout rang N de (yn), on peut trouver q,p>N tel que |yp-yq|>e , et qu'elle est convergente sinon.
Dans l'absolu, on peut conclure.