Oui, en effet si a est une puissance de 3 ça marche très bien.

Si a=3^k alors on tombe sur le cycle 4 * 3^k,2*3^k,3^k qui est un cycle de longueur 3. Du moins c'est ce que j’expérimente de temps en temps pendant mes heures perdus, je n'ai pas cherché véritablement de preuve. Je vais y réfléchir.

Pour l'instant je n'ai qu'un argument heuristique :

Si on part de n impair, on obtient ensuite 3n+1
Ensuite on divise par 2 un certain nombre de fois (que je vais noté a1) on obtient :

(3n+1)/(2^a1) (désolé, ça ne va pas être facile, latex ne marche pas).

On obtient ensuite :

  (3*(3n+1)+2^a1)/(2^a1) (ça reviens à faire *3+1)
=(3²n+3+2^a1)/(2^a1)

qu'on divise par 2 a2 fois :

(3²n+3+2^a1)/(2^(a1+a2)) 
[3³n+3²+3*2^a1+2^(a1+a2)]/(2^(a1+a2))   (*3+1)
[3³n+3²+3*2^a1+2^(a1+a2)]/(2^(a1+a2+a3))    (division par 2 a3 fois)
[(3^4)n+3³+3²*2^a1+3*2^(a1+a2)+2^(a1+a2+a3)]/[2^(a1+a2+a3)]   (*3+1)
etc.

Dans la suite je noterai S(a,k) pour a1+a2+...+ak

La conjecture de Syracuse dit que pour tout n, il existe k et il existe a1,...ak tels que :

[(3^k)*n+3^(k-1)*2^S(a,1)+...+3*2^S(a,k-2)+2^S(a,k-1)]/(2^S(a,k)) = 1  (équation 1)

Donc ici on a une somme dont chaque termes (à par le premier) est une puissance de 3 miltiplié par une puissance de 2.
Si l'opération était 3n+b au lieu de 3n+1 alors on aurait à la place l'expression suivante :

[(3^k)*n+b*3^(k-1)*2^S(a,1)+...+b*3*2^S(a,k-2)+b*2^S(a,k-1)]/(2^S(a,k))

donc si on multiplie par une puissance de 3 l'équation 1 on aurait en gros
presque la même chose que si on prenait b égal à une puissance de 3 dans l'expression ci-dessus.

Pour l'instant je n'ai pas mieux.

Désolé, je n'ai pas eu beaucoup de temps ces derniers jours, mais c'est très joli les puissances de trois qui augmentent à chaque terme jusqu'à arriver à un multiple de la suite de Syracuse.

C'est amusant de voir que 27 qui donne une suite incroyablement longue pour Syracuse, donne des suites plutôt courtes avec les puissances de trois.