Oui Vasimolo, la suite va nécessairement reboucler sur elle même, c'est à dire il y aura u (n+k) = u (n). C'est  " k " qui est demandé.

Le terme " période " est mal approprié ? En fait elle sera périodique à partir d'un certain rang.

1111 est un point fixe.

Pour a=4, voici les 8 cycles d'ordre 4 :
[1003, 1009, 1008, 1006, 1003]
[1013, 1019, 1018, 1016, 1013]
[1036, 1093, 1081, 1064, 1036]
[1103, 1109, 1108, 1106, 1103]
[1113, 1119, 1118, 1116, 1113]
[1136, 1193, 1181, 1164, 1136]
[1361, 1936, 1819, 1641, 1361]
[3616, 9361, 8193, 6418, 3616]

Il semble que les périodes soient toutes égales à 1 ou 4.
Il semble aussi que pour a quelconque il y a exactement
[latex]2^{a-1}[/latex] cycles d'ordre 1
[latex]2^{a-1}[/latex] cycles d'ordre 4

Voilà ! Reste à le prouver...

@ Masab :
Tu as déja bien débroussaillé le problème, reste en effet à analyser tout ça.

@ Ebichu :
Ton analyse est la bonne. Il manque toutefois encore la rédaction de la preuve, ce n'est pas bien long.

Ton analyse est correcte, Lejeu, cependant tu ne donnes pas vraiment de preuve. Elle est courte, mais il faut l'exhiber du constat que tu as fait.

Courage.

C'est vrai que la preuve était à peine murmurée.. je complète

Je dis que si  l'on part de 9 8 6 ou3 on obtient à un moment
U(n) = 9 361 361 ..... ( un 9 suivi   x fois du paquet de trois chiffres 361) de longueur supérieur à a

en effet  si  on part de 9  on trouve un U(n) commençant par 9361
81
641
36161
9361361

idem en partant de 8 6 ou 3

Puis en partant de 9361 , on le décompose en 9 suivi de 1 paquet '361'

le 9 se transforme en 4 tour en :
81
641
36161
9361361

et le 361 se transforme en 4 tour
936
819
641
361

donc le 9 suivi de 1 paquet '361' se transforme en 9 suivi de 3 paquets '361'

si on recommence en gardant   9 suivi de 2 paquets '361'
en séparant en (9 361)(361)
en 4 tour on a donc 9 suivi de 4 paquets de '361

si on recommence
on décompose en( 9 suivi de 3 paquets de '361' )(361)
en 4 tours on a donc 9 suivi de 5 paquet de '361'

ainsi de suite
pour obtenir à un moment donné U(n)= 9 suivi  de x paquets de trois chiffres 361 le tout de longueur supérieur à a
et on a alors U(n+4) =U(n)

La nuit portant conseil, on oublie le 2ieme post et je viens compléter le 1°

- la seule chose importante est le 1° chiffre
( les autres seront poussés vers la droite, on ne s'en occupe pas))

- les chiffres 8,3,6,9 sont particuliers car en 4 transformations :
3->36161
6->64181936
8->819361936
9->9361361
et donc on retrouve le chiffre de départ en 1° position!

par cette simple propriété,
en partant d'un seul chiffre
toutes les 4 transformations on retrouve le nb précédent mais complété par de nouveaux chiffres ( peu importe la façon de les générer)

3
36161
3616116418193616

et donc  quelque soit 'a' on trouvera bien les 'a' premiers chiffres égaux après un certain nb  d'itérations

pour les chiffres 2,4,5,7
on trouve à chaque fois un nombre commençant par 16
le 1 est stationnaire ,et le 6 suit la règle précédente

pour le chiffre 1
on trouve le 1° chiffre différent de 1 et de 0 et on est ramené au 1° cas

Le temps est écoulé, vous pouvez voir les réponses.

L'énoncé était trompeur dès le départ. Pour un chiffre autre que 0 ou 1, l'algorithme engendre des nombres strictement croissants. Donc le 1er chiffre à gauche différent de 0 ou 1 repousse vers la droite tous les autres. Autrement dit, les autres chiffres ne servent à rien pour notre problème.

Pour le 1er chiffre différent de 0 ou 1, si c'est un 7,4,2 ou 5, on aboutira en 1er chiffre sur un 1, et 6 en 2ème chiffre. Pour les chiffres 6,3,9 et 8, on boucle sur une période 4.
Donc quel que soit le 1er chiffre à gauche autre que 0 ou 1, on tombe sur la boucle 6,3,9,8.

Or si on un 6 en k, on a donc un 6 en k+4, même rang dans le nombre.
Donc on trouve un 36 en k+1 et aussi un 36 en k+5.
et 936 en k+2 et 936 en k+6.
etc....

Donc non seulement au bout d'un certain nombre d'itérations on retrouve le même nombre sur une période 4, mais en plus on trouve toujours le même nombre modulo 4 quel que soit le nombre de départ ! hormis les 0 ou 1 à droite.

Merci @ tous pour vos réponses, abouties ou pas, l'important est de participer.