Enigme Suites embrassées @ Prise2Tete

fix33 · #1

Je vous propose cette énigme, mais sachez que je n'ai pas toutes les réponses... Elle me semble malgré tout intéressante

Soit S(n) une suite telle que :
S(1)=1,
S(2)>=1,
S(3)>1,
Pour tout n, S(n)*S(n+1) - S(n-1)*S(n+2) = -1 ou 1.

1- La suite n'est évidemment pas unique, mais n'en reconnaissez-vous pas une ? Savez-vous démontrer que cette suite très connue répond à l'énoncé ?
2- Il semble (cela me surprend bigrement, mais je n'ai pas de certitude) qu'une suite S(n), quelle qu'elle soit, ne s’interrompe jamais brutalement ; c'est-à-dire qu'il existe toujours au moins un entier S(n+2) qui fait suite à des entiers S(n-1), S(n) et S(n+1). Pouvez-vous le confirmer d'une façon ou d'une autre ?

En espérant que vous trouverez de l'intérêt à ces questions !

Fix

fix33 · #2

Pour la question 2, je viens de trouver un contre-exemple...
Mais si S(2) et S(3) ne sont pas trop grands, j'ai l'impression que le postulat reste vrai...

gwen27 · #3

La suite de fibonacci

Je dirais que f(n) = -f(n-1)

S(n)*S(n+1) - S(n-1)*S(n+2)
= ( s(n-1)+s(n-2) ) * (s(n)+s(n-1)) – (s(n-3)+s(n-2)) * (s(n)+s(n+1))
= s(n-1)s(n) + s(n-1)s(n-1) + s(n-2)s(n) + s(n-2)s(n-1) - s(n-3)s(n) - s(n-3)s(n+1) -s(n-2)s(n) – s(n-2)s(n+1)
= s(n-1)s(n) + s(n-1)s(n-1) + s(n-2)s(n-1) - s(n-3)s(n) - s(n-3)s(n+1) – s(n-2)s(n+1)
= s(n-2)s(n-1) – s(n-3)s(n) ….. + s(n-1)s(n) + s(n-1)s(n-1) ….. - s(n-3)s(n+1) – s(n-2)s(n+1)

=s(n-2)s(n-1) – s(n-3)s(n) ….. + s(n-1) s(n+1) ….. - s(n-1)s(n+1)

=s(n-2)s(n-1) – s(n-3)s(n) autrement dit, la valeur de cette fonction deux termes avant, on calcule facilement les deux premiers (1 et -1)

fix33 · #4

Bien vu Gwen pour la suite connue !

A quelle question réponds-tu par ta 2ème ligne ?

Dans ton calcul, "s(n-2)s(n) + s(n-2)s(n-1)" s'annule avec "– s(n-2)s(n+1)" et non "– s(n-2)s(n)". Sinon, ça me semble bon.

nolina · #5

La suite, c'est fibonacci.

fix33 · #6

Dommage, je pensais que le sujet pouvait intéresser plus.
1- Oui, il s'agissait bien de la suite de Fibonacci !
On peut en faire la démonstration grâce à l'expression fonctionnelle de la suite et on obtient assez facilement : F(n)*F(n+1)-F(n-1)*F(n+2)=(-1)^(n+1), pour F(0)=0 et F(1)=1.
2- Il suffit de prendre S(2)=4 et S(3)=613 (pour prendre un exemple avec des nombres très distants) pour obtenir une suite qui s'interrompt rapidement : S(4)=2453, S(5)=375922 et S(6) n'existe pas.
Je manque de temps pour approfondir la question, mais je reste curieux de savoir à partir de quelles valeurs de S(2) et S(3), la suite s'interrompt ou peut s'interrompre...
De même, pour S(2)=1 et S(3)=3 (ou S(2)=1, S(3)=4, S(4)=3 ou...), peut-on démontrer que le suite est infinie ??

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#1 - 02-10-2013 15:47:49

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