1)

tu poses f(x) = "racine de " x + 6 définie sur [0;+inf[

cette foncion est croissante car "racine de " x et 6 le sont et que la somme de deux fonctions croissantes est une fonction croissante.

On a donc f(U_n) = U_(n+1)

Ici démarre la récurrence :
Etape Initiale : U_0=0 et 0<=0 <=3 donc 0<=U_0 <=3 est vrai.

Etape hérédité: Supposons U_p vrai, montrons U_(p+1) vrai

Par hypothèse on a  :                       0<=U_p <=3,
                                comme f est une fonction croissante, on en déduit
                                                   f(0)<=f(U_p) <=f(3),
c'est à dire                                      6<=U_(p+1) <="racine de"3 + 6
au sens large on a donc bien             0<=U_(p+1) <=3,

Puisque l'étape initiale et celle de l'hérédité sont vérifiées on en conclut que :

0<=U_n <=3 est vrai pour tout n entier naturel.

2) On fait encore de la récurrence pour montrer la croissance de la suite.

Etape initiale : U_(1)=7, U_(0)=0 donc vrai.

Etape hérédité: Supposons U_(p)<=U_(p+1), montrons U_(p+1)<=U_(p+2)

                       Par hypothèse on a : U_(p)<=U_(p+1)
                      comme f est une fonction croissante, on en déduit 
                                                    f(U_(p))<=f(U_(p+1))
c'est à dire                                      U_(p+1)<=U_(p+2)   

Puisque l'étape initiale et celle de l'hérédité sont vérifiées on en conclut que :

U_n est croissante.
3) La suite U_n est croissante et majoré car U_n <=3 donc elle est convergente (théorème) vers un nombre que nous noterons L.

On a donc  lim (U_(n+1)) ="racine de" lim (U_n) +6

C'est à dire L =  L + 6 car lim (U_(n+1))=lim (U_n)=L vu qu'elle est convergente.

d'où L = 3.

U_n prendra donc toutes les valeurs sur [0;3[ or quand on résout l'inéquation :
3- U_n<10^-6 on trouve 3- 10^-6<U_n ce qui est donc possible.

"Sonnez hautbois, résonnez musettes"

Oui je me suis emporté, j'ai dis n'importe quoi sur ce coup, j'aurais dû dire il existe U_n appartenant [0;3[ pour un n assez grand tel que U_n soit supérieur à 3-10^6.

Bref l'essentiel en tous cas c'est que ce type d'exercice est un classique et qu'il ressort souvent donc entraîne toi bien dessus.

Quelqu'un a pensé à préciser que ce forum n'est pas un site d'aide aux devoirs, ou c'est encore au méchant modo de le faire ?

MthS-MlndN a écrit:

Quelqu'un a pensé à préciser que ce forum n'est pas un site d'aide aux devoirs, ou c'est encore au méchant modo de le faire ?

Ce n'est pas du tout un devoir que j'avais à faire, mais un exercice que je voulais faire pour réviser un contrôle, et dont je ne comprenais pas le raisonnement à appliquer.

Castor.

castorreglisse a écrit:

Ce n'est pas du tout un devoir que j'avais à faire, mais un exercice que je voulais faire pour réviser un contrôle, et dont je ne comprenais pas le raisonnement à appliquer.

Okay. Le message reste le même : a priori, Prise2Tête (un site d'énigmes) peut ne pas t'apporter toute l'aide dont tu as besoin pour des exercices "scolaires" : il y a des forums spécialisés dans l'aide aux devoirs, sur Futura Sciences ou Ile-Maths par exemple.

Mais ça ne veut pas dire que je t'en veux. Au contraire : bienvenue Et si tu as du temps libre un de ces quatre, n'hésite pas à fouiller le forum ou à commencer les énigmes officielles, je te promets que ça vaut le coup