Shadocck, il faut des sous suites infinies, et si possible composées de nombres irrationnels.

Voila bien une énigme qui n'a pas été attractive, peut être à cause de son caractère trop abstrait.
Pour former une sous suite de réels dont la méthode Cantor ne produira pas de nouveau nombre, il suffit d'attribuer aux décimales comprises entre 1 et k-1 du nombre au rang k+1 les mêmes décimales que celles du nombre du rang k, et pour la décimale k, lui attribuer la décimale de même rang du nb k, à laquelle on ajoute 1. Pour les décimales au dela de k, on les prend au hasard. De cette façon, le nombre formé par la diagonale aura la même limite que le nombre formé ligne après ligne.

En fait, il faut juste s'efforcer de créer au moins une suite infinie de réels telle que la méthode de Cantor ne crée pas de nouveau nombre. Ensuite, sur la base de cette suite qu'on aura trouvée, on montre qu'il en existe une infinité bâties sur le même principe.

Je ne te comprends pas. As tu lu comment je m'y prenais ?

Ce n'est pas tout à fait ça, en voici un exemple, j'oublie le zéro avant la virgule:
2xxx..
30xxx...
313xxx....
3140xxx...
31414xxx...
314158xxx...
3141591xxx...
31415925xxx...
314159264xxx...
3141592653xxx...
etc...

On met pour les x n'importe chiffre.
Le nombre de rang k représente Pi pour les k-1 premières décimales.
Le nombre formé par la méthode de cantor donne aussi Pi.
Les 2 nombres convergent vers PI.
La méthode de Cantor ne crée pas de nombre nouveau.

Bien sûr que si. La méthode de Cantor est basée sur le fait qu'il y a création d'un nombre, preuve fournie seulement par le fait qu'on va à la limite de la liste. Or l'infinité de la liste a même cardinal que l'infinité des décimales de PI: 1 décimale= 1 nombre de la liste. A la limite à l'infini de la liste, on a bien 2 fois PI.

C'est vrai tu as raison, je n'avais pas vu comme ça.

Pourtant, si on appelle [latex]u_n[/latex] la suite que tu propose,
c'est-à-dire

[latex]u_0[/latex]=0.2xxxx
[latex]u_1[/latex]=0.30xxx
[latex]u_2[/latex]=0.313xx
etc ...

alors il est clair que pour tout entier [latex]n[/latex], [latex]u_n[/latex] est différent de pi. Donc pi n'est pas un élément de la suite, la méthode de Cantor a donc bien "créer" un nouveau nombre qui n'était pas dans la liste, non ?.

Nodgim ,

mathématiquement tes développements n'ont pas de sens , il ne faut pas oublier que l'infini est un concept , même l'univers ( qui n'existe pas en théorie des ensemble ) est fini .

Parallèlement à ton histoire de coureur , imagine une fusée qui accélère de plus en plus , plus elle accélère plus sa masse augmente , elle s'approchera autant que possible de la vitesse de la lumière sans jamais l'atteindre .

Le classement des infinis par Cantor reste pour moi la plus belle découverte des mathématiques .

[latex]\mathbb{R}[/latex] est plus grand que [latex]\mathbb{N}[/latex] alors que [latex]\mathbb{Q}[/latex] , ...

Vasimolo

Pour conclure, il est à remarquer que cette "sous suite" comporte un nombre dénombrable de nombres, puisque corrélés au nombre de décimales de Pi, ce qui ne remet pas en cause la démo de Cantor.
Ensuite, tout le monde sait que 0.9999....=1 ce qui est équivalent à la suite créée, qui ne différe à l'infini que par une décimale.

Une autre remarque en passant:
Dans la géométrie Euclidienne, 2 pts distincts sont distincts, c'est une Lapalissade, et 2 pts qui se touchent sont confondus. Parler d'une mesure de distance entre 2 pts distincts n'a pas de sens, tant qu'on ne se donne pas un référentiel de mesure. C'est à dire qu'on peut toujours décréter qu'une distance entre 2 pts vaut 0, 1 ou infini, tout dépend de notre référentiel de mesure. En revanche, il est tout à fait possible qu'un 1er pt soit infiniment plus proche d'un pt de référence qu'un 2 ème pt. C'est à dire que la comparaison de distance soit dans un rapport infini. Par exemple, par rapport au pt de référence 0, le pt d'abscisse 0.000....1 est infiniment plus proche de 0 qui le pt d'abscisse 1. La mesure  0.000....1 provient d'une division infinie de l'abscisse 1. Dans ce référentiel, on dit que le pt 0.000...1 est confondu avec 0. Mais si on prend comme référentiel le pt 0.000..1, alors le pt d'abscisse 1 devient un pt à distance infinie.
La corollaire, c'est que tous les pts associés à tous les nombres réels compris entre 0 et 1 ne remplissent que virtuellement tous les pts du segment. C'est à dire que la distance nulle entre les pts n'est vraie que dans le référentiel segment décrété à 1. Il n'est nullement valable dans le référentiel: distance 1 décrété entre 2 pts consécutifs associés aux nombres réels compris entre 0 et 1.

ça ne fait jamais que la 2ème fois que je dis que les points d'un segment ne peuvent pas le remplir.
Il y a plus de pts que de nombres réels compris entre 0 et 1. Mieux, il y a autant de points compris entre 2 nombres réels consécutifs que de nombres réels. Plus même....

C'est bien entendu une vision très personnelle qui n'engage que moi....

Merci pour ton lien, Shadock. Peu de surprise sur le contenu.
Compte  tenu de ton niveau d'enseignement, je te propose une autre petite énigme (bien sûr tous les lecteurs sont invités à réagir).
On trace un segment en 1 seconde. On décrête que ce segment a une longueur 1, que le début du tracé est 1 et la fin du tracé 0. On repère toutes les abscisses 1/n, n entier non nul. Peux tu décrire ce qu'il se passe au zéro (temps 1 seconde), y mets tu un repère ? et celui juste avant, où est il ?
Je ne saurais que trop insister sur le fait que tout se passe en une seule seconde. Au bout d'une seconde, il ne passe plus rien.

Je place un trait en 0 puisque pour tout epsilon strictement positif, si la valeur absolue de A est strictement inférieure à epsilon alors A=0.

Il suffit de raisonner par contraposée si A est différent de 0 alors il existe un epsilon strictement positif tel que la valeur absolue de A soit strictement supérieur à 0.
On pose epsilon = (valeur absolue de A)/2 > 0 d'où le résultat puisqu'un tel epsilon existe.

Shadock