Bon je crois avoir trouvé la solution et il faut bien les 49 entiers .

Considérons l’ensemble des entiers de 1 à 49 et supposons par l’absurde qu’il existe une partition de cet ensemble en 3 parties A , B et C telle qu’aucune de ces parties ne contienne de triplet a , b , c avec a+b=c .
Il y a  , dans A par exemple , au moins 17 éléments : [latex]a_1>a_2>a_3>\cdots >a_{17}[/latex] . Parmi les 16 éléments [latex]a_1-a_2[/latex] , [latex]a_1-a_3[/latex] , … , [latex]a_1-a_{17}[/latex] au moins 15 ne sont pas dans A  . B , par exemple , va contenir au moins 8 de ces éléments [latex]b_1=a_1-a_{i1}>b_2=a_1-a_{i2}>\cdots >b_8=a_1-a_{i8}[/latex] . Parmi les 7 éléments [latex]b_1-b_8=a_{i8}-a_{i_1}>b_1-b_7=a_{i7}-a_{i1}>\cdots >b_1-b_2=a_{i2}-a_{i1}[/latex] 5 au moins ne sont ni dans B ni dans A il sont donc dans C . [latex]c_1=b_1-b_{j1}=a_{j1}-a_{i1}>c_2=b_1-b_{j2}=a_{j2}-a_{i1}>...>c_5=b_1-b_{j5}=a_{j5}-a_{i1}[/latex] . Il n'y a plus qu'à considérer les 4 élements [latex]c_1-c_5=b_{j5}-b_{j1}=a_{j5}-a_{j1}>...>c_{1}-c_2=b_{j2}-b_{j1}=a_{j2}-a_{j1}[/latex] . L'un d'entre eux n'est pas dans A ni B ni C .

C'est quand même très laborieux ces histoires d'indices , j'espère qu'il y a plus simple

Vasimolo

@Azdod

Un petit commentaire ?

Vasimolo

Sur ce site la coutume est de proposer des problèmes personnels ( rien n'interdit d'adapter des problèmes connus ) et de fournir des solutions originales .

Tes problèmes sont intéressants mais tu risques de te retrouver très vite un peu seul si tu ne mets pas un peu de toi dans tes propositions et dans tes solutions .

J'aime bien tes problèmes mais ici je suis un peu un OVNI

Vasimolo

C'est un peu ce que je viens de dire , moi j'aime bien

Et les examens d'abord

Vasimolo

J'ai déjà du mal avec la solution de Vasimolo alors imagine avec ton fichier .pdf
En tout cas sympas le problème, comme ça un jour je pourrais embêter mes petits camarades de prépa (mais d'ici là j'aurai déserté les lieux pour quelques années!)

Shadock