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	Forum » Enigmes Mathématiques » Mathématiques pour les nuls 16 (Produit et racines de l'unité) Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=kossi_tg][latex]U_k=e^{2ik\pi/n}[/latex] [latex]P_k=\frac{1-U_k}{1+U_k}=\frac{e^{-ik\pi/n}}{e^{-ik\pi/n}}\frac{1-e^{2ik\pi/n}}{1+e^{2ik\pi/n}}=\frac{e^{-ik\pi/n}-e^{ik\pi/n}}{e^{-ik\pi/n}+e^{ik\pi/n}}[/latex] [latex]P_k=\frac{C-iS-C-iS}{C-iS+C+iS}=\frac{-iS}{C}[/latex] avec [latex]C=cos(k\pi/n)[/latex] et [latex]S=sin(k\pi/n)[/latex] Soit [latex]P=\prod_{k=1}^{n-1}{P_k}=\prod_{k=1}^{n-1}{\frac{-iS}{C}}=(-i)^{n-1}\frac{\prod_{k=1}^{n-1}{S}}{\prod_{k=1}^{n-1}{C}}[/latex] [latex]P=(-i)^{n-1}\frac{\frac{n}{2^{n-1}}}{\frac{cos(n\pi/2-\pi/2)}{2^{n-1}}}=(-i)^{n-1}\frac{n}{cos(n\pi/2-\pi/2)}[/latex] On va distinguer 2 cas de n, n étant impair: - 1er cas: [latex]n=4p+3[/latex] où p est un entier naturel [latex](-i)^{n-1}=(-i)^{4p+2}=-1[/latex] et [latex] cos(n\pi/2-\pi/2)=cos(p2\pi+\pi)=-1[/latex] donc [latex]P=n[/latex], -2ième cas: [latex]n=4p+1[/latex] où p est un entier naturel [latex](-i)^{n-1}=(-i)^{4p}=1[/latex] et [latex]cos(n\pi/2-\pi/2)=cos(p2\pi)=1[/latex] donc [latex]P=n[/latex]. En définitif [latex]\prod_{k=1}^{n-1}{\frac{1-U_k}{1+U_k}}=n[/latex][/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : Si il y a 88 pommes et que vous en prenez 44, combien vous en avez ? Retour Résumé de la discussion shadock 09-09-2013 19:29:45 Allez, pour achever mes révisions sur les complexes je vous propose ceci, à mon goût le problème est simple, mais allez savoir... Soit n impair [latex]\{u_1,\text{..., }u_{n-1}\}[/latex] les racines n-ièmes de l'unité autre que 1, calculer [latex]\prod_{k=1}^{n-1} \frac{1-u_k}{1+u_k}[/latex] La case réponse valide la réponse, en LaTeX Shadock EDIT : Merci Titou, d'avoir fait remarqué que n est impair ! Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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