Il va falloir enlever -1 également lorsque n est pair non ? Et précise que ce sont des racines nèmes.

Si n est pair alors une des racines est -1 donc l'expression n'a pas de sens (le dénominateur s'annule).

$$U_k=e^{2ik\pi/n}$$ $$P_k=\frac{1-U_k}{1+U_k}=\frac{e^{-ik\pi/n}}{e^{-ik\pi/n}}*\frac{1-e^{2ik\pi/n}}{1+e^{2ik\pi/n}}=\frac{e^{-ik\pi/n}-e^{ik\pi/n}}{e^{-ik\pi/n}+e^{ik\pi/n}}$$ $$P_k=\frac{C-iS-C-iS}{C-iS+C+iS}=\frac{-iS}{C}[/latex]  avec  [latex]C=cos(k\pi/n)[/latex] et [latex]S=sin(k\pi/n)$$
Soit
$$P=\prod_{k=1}^{n-1}{P_k}=\prod_{k=1}^{n-1}{\frac{-iS}{C}}=(-i)^{n-1}*\frac{\prod_{k=1}^{n-1}{S}}{\prod_{k=1}^{n-1}{C}}$$ $$P=(-i)^{n-1}*\frac{\frac{n}{2^{n-1}}}{\frac{cos(n\pi/2-\pi/2)}{2^{n-1}}}=(-i)^{n-1}*\frac{n}{cos(n\pi/2-\pi/2)}$$
On va distinguer 2 cas de n, n étant impair:

- 1er cas: $n=4*p+3$ où p est un entier naturel
$$(-i)^{n-1}=(-i)^{4*p+2}=-1[/latex]  et [latex] cos(n\pi/2-\pi/2)=cos(p*2\pi+\pi)=-1$$
donc $P=n$,

-2ième cas: $n=4*p+1$ où p est un entier naturel
$$(-i)^{n-1}=(-i)^{4*p}=1[/latex]  et  [latex]cos(n\pi/2-\pi/2)=cos(p*2\pi)=1$$
donc $P=n$.

En définitif  $\prod_{k=1}^{n-1}{\frac{1-U_k}{1+U_k}}=n$

Le produit demandé est égal à $n$
En effet on a  $x^n-1=(x-1)\,(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1)$
Posons $P(x)=x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1$
Alors on a  $\prod_{k=1}^{n-1} (x-u_k) = P(x)$
Par suite  $\prod_{k=1}^{n-1} \frac{1-u_k}{1+u_k} = \frac{P(1)}{(-1)^{n-1}P(-1)} = \frac{n}{1\times 1} = n\quad\quad$  ($n$ est impair)
Voilà !

Voici ma solution, il doit y en avoir d'avoir quoiqu'elles se ressemblent certainement.

Si $n=1$ le produit est 1.
Si $n=3$ le produit est $\frac{1-j}{1+j}*\frac{1-j^2}{1+j^2}=\frac{1-j-j^2+j^3}{1+j+j^2+j^3}=\frac{3}{1}=3$

Montrons alors que $\prod_{k=1}^{n-1} \frac{1-u_k}{1+u_k}=n$

D'abord, $z^n-1=\prod_{k=0}^{n-1} (z-u_k)=(z-1)\prod_{k=1}^{n-1}(z-u_k)=(z-1)P(z)$

Que l'on dérive et on trouve $nz^{n-1}=P(z)+(z-1)P'(z)$ ainsi pour $z=1$ on a $P(1)=\prod_{k=1}^{n-1} (1-u_k)=n$

De plus comme $n$ est impair,
$$z^n+1=\prod_{k=0}^{n-1} (z+u_k)=(z+1)\prod_{k=1}^{n-1}(z+u_k)=(z+1)Q(z)$$
Pour $z=1$ on a donc $Q(1)=\prod_{k=1}^{n-1}(1+u_k)=1$.


On a donc $\prod_{k=1}^{n-1}(1+u_k)=\prod_{k=1}^{n-1}(-1-u_k)=P(-1)$

or $z^n-1=(z-1)P(z)$ qui donne pour $z=1$, $-2=-2P(-1)$ soit$P(-1)=1$

D'où le résultat :
$$\prod_{k=1}^{n-1} \frac{1-u_k}{1+u_k}=n$$
Shadock

Bravo masab !