Enigme Produit rectification @ Prise2Tete

gabrielduflot · #1

Le produit de 6 nombres consécutifs inférieurs à 40 finit par 2 zéros mais pas 3. Combien il y en a? lesquels?

MthS-MlndN · #2

Plusieurs façons de faire :

- deux multiples de 10, puis quatre nombres non multiples de 5
- deux multiples de 10 et quatre nombres impairs
- un multiple de 10, un multiple de 5, un multiple de 2, et trois nombres non multiples de 5
- un multiple de 10, un multiple de 5, un multiple de 2, et trois nombres non multiples de 2
- deux multiples de 5, deux multiples de 2, et deux nombres non multiples de 5
- deux multiples de 5, deux multiples de 2, et deux nombres impairs
- deux multiples de 5, un multiple de 4, et trois nombres non multiples de 5
- 25, deux multiples de 2, et trois nombres non multiples de 5
- 25, deux multiples de 2 (mais pas de 4), et trois nombres impairs
- 25, un multiple de 4, et quatre nombres non multiples de 5
- 25, un multiple de 4 mais pas de 8, et quatre nombres impairs
- 25, un multiple de 8, et quatre nombres impairs non multiples de 5

Je n'ai pas assez creusé les détails des premiers, et j'ai sans doute oublié des cas... Autant dire que j'ai la flemme de dénombrer

OK, s'ils sont consécutifs, on va pouvoir donner une réponse !

Si 25 fait partie du lot, il ne faut pas prendre tout de 20 à 25 ou tout de 25 à 30, car cela donne forcément trois zéros. Toutes les autres combinaisons comprenant 25 marchent : on aura un produit multiple de 5^2 mais pas de 5^3, et avec les trois pairs qui seront inclus on est sûr d'avoir 2^2 (en fait, 2^4 ou 2^5). Donc :

21x22x23x24x25x26
22x23x24x25x26x27
23x24x25x26x27x28
24x25x26x27x28x29

Si 25 n'est pas inclus, il nous faut absolument commencer et finir par un multiple de 5 pour avoir deux fois un 5 dans notre produit (la présence de pairs au milieu nous assure d'obtenir un multiple de 100) :

5x6x7x8x9x10
10x11x12x13x14x15
15x16x17x18x19x20
30x31x32x33x34x35
35x36x37x38x39x40

Et voilà les neuf, on calcule juste vite fait les produits, comme ça, pour le fun :

5x6x7x8x9x10 = 151 200
10x11x12x13x14x15 = 3 603 600
15x16x17x18x19x20 = 27 907 200
21x22x23x24x25x26 = 165 765 600
22x23x24x25x26x27 = 213 127 200
23x24x25x26x27x28 = 271 252 800
24x25x26x27x28x29 = 342 014 400
30x31x32x33x34x35 = 1 168 675 200
35x36x37x38x39x40 = 2 763 633 600

pain_frais · #3

Autrement dit, on recherche tous les multiples de 100 plus petits que 39^6 et qui ne sont pas multiples de 1000.

Cela nous donne: 39^6 = 3'518'743'761
Il y a 35'187'437 multiples de 100 < 39^6
Il y a 3'518'743 multiples de 1000 < 39^6

Donc il y a 35'187'437 - 3'518'743 = 31'668'694 produits de 6 nombres inférieurs à 40 finissant par 2 zéros mais pas 3. Ca fait quand même beaucoup...

OK, ok, si on modifie la donnée et que les nombres sont consécutifs, alors on trouve rapidement 8 réponses:

5*6*7*8*9*10 = 151200
10*11*12*13*14*15 = 3603600
15*16*17*18*19*20 = 27907200
21*22*23*24*25*26 = 165765600
22*23*24*25*26*27 = 213127200
23*24*25*26*27*28 = 271252800
24*25*26*27*28*29 = 342014400
30*31*32*33*34*35 = 1168675200

schaff60 · #4

5 6 7 8 9 10 151200
10 11 12 13 14 15 3603600
15 16 17 18 19 20 27907200
21 22 23 24 25 26 165765600
22 23 24 25 26 27 213127200
23 24 25 26 27 28 271252800
24 25 26 27 28 29 342014400
30 31 32 33 34 35 1168675200
35 36 37 38 39 40 2763633600

scrablor · #5

Le produit de 6 entiers consécutifs est au moins divisible par 16 donc on aura trop de facteurs 2.
Pour avoir 00 mais pas 000, il faut donc deux facteurs 5 exactement.
Premier type de solutions : avec facteurs 5 séparés.
5*6*7*8*9*10
10*11*12*13*14*15
15*16*17*18*19*20
30*31*32*33*34*35
35*36*37*38*39*40 (si on accepte 40)
Deuxième type de solutions : avec le facteur 25.
21*22*23*24*25*26
22*23*24*25*26*27
23*24*25*26*27*28
24*25*26*27*28*29

Nombrilist · #6

5*6*7*8*9*10
15*16*17*18*19*20
21*22*23*24*25*26
22*23*24*25*26*27
23*24*25*26*27*28
29*30*31*32*33*34*35
35*36*37*38*39*40

FRiZMOUT · #7

$5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 = 151200$
$10 * 11 * 12 * 13 * 14 * 15 = 3603600$
$15 * 16 * 17 * 18 * 19 * 20 = 27907200$
$21 * 22 * 23 * 24 * 25 * 26 = 165765600$
$22 * 23 * 24 * 25 * 26 * 27 = 213127200$
$23 * 24 * 25 * 26 * 27 * 28 = 271252800$
$24 * 25 * 26 * 27 * 28 * 29 = 342014400$
$30 * 31 * 32 * 33 * 34 * 35 = 1168675200$
$35 * 36 * 37 * 38 * 39 * 40 = 2763633600$

Vasimolo · #8

Bonsoir

On remarque que le produit de 6 entiers consécutifs est toujours divisible par 8 donc ce produit finit exactement par deux zéros si et seulement si il est divisible par 25 mais pas par 125 .

1er cas : 25 figure dans la liste alors il ne doit pas y avoir d'autre multiple de 5 :

21;22;23;24;25;26
22;23;24;25;26;27
23;24;25;26;27;28
24;25;26;27;28;29

2ème cas : 25 ne figure pas dans la liste alors il doit y avoir deux multiples de 5 :

05;06;07;08;09;10
15;16;17;18;19;20
20;21;22;23;24;25
25;26;27;28;29;30
30;31;32;33;34;35

Donc un total de neuf possibilités

Vasimolo

gabrielduflot · #9

il fallait en trouver 9 comme l'on dit beaucoup de personnes bravo a ceux qui ont bien répondu

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#1 - 25-02-2010 14:22:58

Produit rectiification

#0 Pub

#2 - 25-02-2010 14:51:34

Prouit rectification

#3 - 25-02-2010 16:15:12

Produit rectifictaion

#4 - 25-02-2010 19:18:25

prpduit rectification

#5 - 25-02-2010 19:39:39

produit rextification

#6 - 25-02-2010 20:00:52

produit rectifocation

#7 - 26-02-2010 16:56:11

Produit rectificatioon

#8 - 27-02-2010 19:26:40

Prduit rectification

#9 - 01-03-2010 12:43:24

prodyit rectification

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