Plusieurs façons de faire :

- deux multiples de 10, puis quatre nombres non multiples de 5
- deux multiples de 10 et quatre nombres impairs
- un multiple de 10, un multiple de 5, un multiple de 2, et trois nombres non multiples de 5
- un multiple de 10, un multiple de 5, un multiple de 2, et trois nombres non multiples de 2
- deux multiples de 5, deux multiples de 2, et deux nombres non multiples de 5
- deux multiples de 5, deux multiples de 2, et deux nombres impairs
- deux multiples de 5, un multiple de 4, et trois nombres non multiples de 5
- 25, deux multiples de 2, et trois nombres non multiples de 5
- 25, deux multiples de 2 (mais pas de 4), et trois nombres impairs
- 25, un multiple de 4, et quatre nombres non multiples de 5
- 25, un multiple de 4 mais pas de 8, et quatre nombres impairs
- 25, un multiple de 8, et quatre nombres impairs non multiples de 5

Je n'ai pas assez creusé les détails des premiers, et j'ai sans doute oublié des cas... Autant dire que j'ai la flemme de dénombrer





OK, s'ils sont consécutifs, on va pouvoir donner une réponse !

Si 25 fait partie du lot, il ne faut pas prendre tout de 20 à 25 ou tout de 25 à 30, car cela donne forcément trois zéros. Toutes les autres combinaisons comprenant 25 marchent : on aura un produit multiple de 5^2 mais pas de 5^3, et avec les trois pairs qui seront inclus on est sûr d'avoir 2^2 (en fait, 2^4 ou 2^5). Donc :

21x22x23x24x25x26
22x23x24x25x26x27
23x24x25x26x27x28
24x25x26x27x28x29

Si 25 n'est pas inclus, il nous faut absolument commencer et finir par un multiple de 5 pour avoir deux fois un 5 dans notre produit (la présence de pairs au milieu nous assure d'obtenir un multiple de 100) :

5x6x7x8x9x10
10x11x12x13x14x15
15x16x17x18x19x20
30x31x32x33x34x35
35x36x37x38x39x40

Et voilà les neuf, on calcule juste vite fait les produits, comme ça, pour le fun :

         5x6x7x8x9x10 = 151 200
10x11x12x13x14x15 = 3 603 600
15x16x17x18x19x20 = 27 907 200
21x22x23x24x25x26 = 165 765 600
22x23x24x25x26x27 = 213 127 200
23x24x25x26x27x28 = 271 252 800
24x25x26x27x28x29 = 342 014 400
30x31x32x33x34x35 = 1 168 675 200
35x36x37x38x39x40 = 2 763 633 600

5      6      7      8      9     10    151200
10    11    12    13    14    15    3603600
15    16    17    18    19    20    27907200
21    22    23    24    25    26    165765600
22    23    24    25    26    27    213127200
23    24    25    26    27    28    271252800
24    25    26    27    28    29    342014400
30    31    32    33    34    35    1168675200
35    36    37    38    39    40    2763633600

5*6*7*8*9*10
15*16*17*18*19*20
21*22*23*24*25*26
22*23*24*25*26*27
23*24*25*26*27*28
29*30*31*32*33*34*35
35*36*37*38*39*40

Bonsoir

On remarque que le produit de 6 entiers consécutifs est toujours divisible par 8 donc ce produit finit exactement par deux zéros si et seulement si il est divisible par 25 mais pas par 125 .

1er cas : 25 figure dans la liste alors il ne doit pas y avoir d'autre multiple de 5 :

21;22;23;24;25;26
22;23;24;25;26;27
23;24;25;26;27;28
24;25;26;27;28;29

2ème cas : 25 ne figure pas dans la liste alors il doit y avoir deux multiples de 5 :

05;06;07;08;09;10
15;16;17;18;19;20
20;21;22;23;24;25
25;26;27;28;29;30
30;31;32;33;34;35

Donc un total de neuf possibilités

Vasimolo