On regroupe les diviseurs avec leurs co-diviseurs.
Deux cas se présentent:n n'est pas un carré parfait et alors on obtient k\2 fois n*....*n ,ou n est un carré parfait et alors on obtient k\2-1 fois n*....*n multiplié par racine de n.Dans les deux cas on arrive à:
$$n^{\frac{k}{2}}$$

Très joli, merci!

Considérons la décomposition en facteurs premiers de n:
$$n=p_1^{q_1}p_2^{q_2}...p_m^{q_m}$$
Le nombre de diviseurs $k$ s'écrit:
$$k=(1+q_1)(1+q_2)...(1+q_m)$$
Les diviseurs sont de la forme:
$$d(j_1, j_2, ..., j_m)=p_1^{j_1}p_2^{j_2}...p_m^{j_m}[/latex], avec [latex]\forall i \in \{1, 2, ..., m\}, 0\le j_i \le q_i$$
Le produit $P$ des diviseurs s'écrit alors:
$$P=\prod_{j_1}\prod_{j_2}...\prod_{j_m}p_1^{j_1}p_2^{j_2}...p_m^{j_m}$$
A présent, il ne faut pas commettre l'erreur de travailler avec les $\prod$ comme avec les $\sum$... et il vient:
$$\begin{eqnarray} &P &=\prod_{j_1}\prod_{j_2}...\prod_{j_{m-1}}\left(p_1^{j_1}p_2^{j_2}...p_{m-1}^{j_{m-1}}\right)^{(q_m+1)}\prod_{j_m}p_m^{j_m}\\ & &=\prod_{j_1}\prod_{j_2}...\prod_{j_{m-1}}\left(p_1^{j_1}p_2^{j_2}...p_{m-1}^{j_{m-1}}\right)^{(q_m+1)}p_m^{q_m(q_m+1)/2} \end{eqnarray}$$
Et en procédant de même pour tous les produits, il vient:
$$P=p_1^{kq_1/2}p_2^{kq_2/2}...p_m^{kq_m/2}=\left(p_1^{q_1}p_2^{q_2}...p_m^{q_m}\right)^{k/2}$$
Soit: $\fbox{P=\sqrt{n^k}}$

Si n n'est pas un un carré parfait il y a un nombre de diviseur pair
Ecrivant$n=1\times n=d_1\times d_{k-1}=.......=d_{{k}\over 2}\times d_{{k\over 2}+1}$
donc le produit des diviseurs est égal à $n^{k\over 2}$

Si n est un carré parfait il y a un nombre impair de diviseurs
$$n=1\times n=d_1\times d_{k-1}=.......=d_{{k-1}\over 2}\times d_{{k+1}\over 2}=(\sqrt n)^2$$
donc le produit des diviseurs est $(\sqrt n)^k$

On peut faire correspondre à chaque diviseur d un autre diviseur d' tel que d'.d = n
Donc $(d_1 . d_2 . ... . d_k)^2 = n . n . ... . n = n^k\\ d_1 . d_2 . ... . d_k = n^{\frac{k}{2}}$

Repartons de la décomposition en facteurs premiers de ce nombre :
$$n = \bigprod_{i=1}^p (\alpha_i)^{r_i}$$
avec $p$ le nombre de facteurs premiers différents servant dans la décomposition, $\alpha_i$ ces facteurs, et $r_i$ les ordres de multiplicité correspondants.

Chacun des diviseurs de $n$ sera un nombre de la forme $\bigprod_{i=1}^p (\alpha_i)^{q_i}$ avec $0 \leq q_i \leq r_i$.

Donc $k = \bigprod_{i=1}^p (r_i+1)$. Un $\alpha_j$ particulier apparaîtra $q_j$ fois dans $\bigprod_{i=1 \\ i \neq j}^p (r_i+1) = \frac{k}{r_j + 1}$ diviseurs de $n$, et ce pour chaque $q_j$ entre $0$ et $r_j$. Il apparaîtra donc au total, dans le produit des diviseurs de $n$ :

$\frac{k}{r_j + 1} \sum_{q=0}^{r_j} q = \frac{k}{r_j + 1} \times \frac{r_j (r_j + 1)}{2} = \frac{k}{2} r_j$ fois.

Conclusion : le produit des $k$ diviseurs de $n$ vaut $n^{\frac{k}{2}}$.

Maintenant que j'ai le résultat (plutôt instinctif) sous les yeux, je suis sûr qu'il y a plus simple pour arriver à ce résultat

Bon le cas ou n est un carré aura empoisonné pas mal de monde . Il faut aussi éviter le réflexe décomposition en facteurs premiers même s'il conduit au résultat .

Une bonne réponse type : celle de scarta .

Mais je détaille quand même un peu

Les diviseurs vont par deux ou si vous préférez : d ->n/d est une bijection sur l'ensemble des diviseurs de n donc les produits P des d ou des n/d sont les mêmes c'est à dire que $P=\frac{n^k}{P}$ ou encore $P^2=n^k$ et  $P=\sqrt{n^k}$ .

Merci aux participants

Vasimolo