[TeX]15 \hspace*{1mm} 407 \hspace*{1mm} 021 \hspace*{1mm} 574 \hspace*{1mm} 586 \hspace*{1mm} 368 = 2^{30} \times 3^{15}[/latex] (merci Dcode).

J'utilise ensuite avec cette propriété : "Le carré du produit des diviseurs d'un nombre est égal au nombre lui-même élevé à la puissance de la quantité de ses diviseurs." (merci Gérard Villemin).

Le nombre que l'on cherche est de la forme [latex]2^a \times 3^b[/latex] et, donc, il admet [latex](a+1)(b+1)[/latex] diviseurs. On aura donc :

[latex](2^a \times 3^b)^{(a+1)(b+1)} = 2^{60} \times 3^{30}[/TeX]
Donc [latex]a (a+1)(b+1) = 60[/latex] et [latex](a+1)b(b+1) = 30[/latex].

Résultat direct : [latex]a = 2b[/latex].

Dans la deuxième équation : [latex]b(b+1)(2b+1)=30[/latex] qui admet 2 comme solution "instinctive" ([latex]2 \times 3 \times 5 = 30[/latex]) et on peut montrer, mais c'est un peu chiant, j'ai la flemme, que c'est la seule racine réelle (et a plus forte raison entière).

Le nombre cherché est donc [latex]2^4 \times 3^2[/latex] soit 144.

15 407 021 574 586 368 = 2^30 x 3^15

Le nombre recherché N est de la forme 2^n . 2^m.

On peut établir une matrice X (n+1)*(m+1) de tout les nombres diviseurs de 2^n.3^m.
Pour cela je prend l'élément Xij = 2^(i).3^(j)

Le produit de tout les Xij = 2^30.3^15

Le nombre de facteur 2 vaut n(n+1).(m+1)/2 = 30
Le nombre de facteur 3 vaut m(m+1).(n+1)/2 = 15

En particulier, il vient n/m = 2.

Finalement, on trouve n=4 et m=2 et N=144.

144 un nombre abondant

On note que le nombre donné est le produit de trente 2 et quinze 3
on construit un tableau des puissances qui utilisent ces premiers et voila

2^i*3^j 
i\j 0  1   2 
0   1  3   9
1   2  6  18
2   4 12  36
3   8 24  72
4  16 48 144

La décomposition primale de [latex]15 407 021 574 586 368 [/latex] est [latex]2^{30}^\times3^{15}[/latex].
Le nombre recherché est donc de la forme [latex]N=2^\alpha\times3^\beta[/latex].

On montre que le produits des diviseurs de [latex]N[/latex] est  :
[TeX]2^{\frac{\alpha(\alpha+1)(\beta+1)}{2}}\times3^{\frac{\beta(\beta+1)(\alpha+1)}{2}}.[/TeX]
Par unicité de la décomposition primale, on obtient :
[TeX]\left\{\begin{array}{l} \alpha(\alpha+1)(\beta+1)=60
\beta(\beta+1)(\alpha+1)=30
\end{array}\right.[/TeX]
Ce système n'admet pour solution entière que le couple [latex](\alpha,\beta)=(4,2)[/latex].
Le nombre cherché est : [latex]2^4^\times3^2=144[/latex].

J'ai vraiment aimé cette énigme. Je suis par contre un peu contrarié de devoir retaper presque toute ma rédaction parce que le site a planté quand j'ai prévisualisé
La réponse est 144.
Voici comment j'y suis parvenu:

Tout d'abord quelques notations:
N est un nombre entier dont les facteurs premiers sont les [latex]p_i[/latex], chacun avec une puissance [latex]\alpha_i[/latex].

On a: [latex]N=\prod{p_i^\alpha_i}[/latex]
Il a [latex]d_N[/latex] diviseurs, [latex]d_N=\prod{(\alpha_i+1)}[/latex].
Le produit de ces diviseurs est [latex]P_N[/latex]. Dans notre cas, [latex]P_N=2^{30}3^{15}[/latex].

On peut regrouper les diviseurs 2 par 2: (1 et N), ([latex]p_0[/latex] et [latex]\dfrac{N}{p_0}[/latex]), ... Le produit de chaque groupe fait N.
Si [latex]d_N[/latex] est impair il reste un [latex]\sqrt{N}[/latex] seul et [latex]\dfrac{d_N-1}2[/latex] facteurs N. Si [latex]d_N[/latex] est pair il y a [latex]\dfrac{d_N}2 facteurs N[/latex].
Dans les 2 cas: [latex]P_N=N^{\dfrac{d_N}2}[/latex].

Le point important est que [latex]P_N[/latex] est une puissance de N et s'écrit donc exactement avec les mêmes facteurs premiers et des puissances proportionnelles.

On peut donc poser: [latex]N=2^{2\alpha}3^\alpha[/latex].
[TeX]d_N=(\alpha+1)(2\alpha+1)[/latex].

Et [latex]P_N={(2^{2\alpha}3^\alpha)}^{\dfrac{(\alpha+1)(2\alpha+1)}2}=2^{\alpha(\alpha+1)(2\alpha+1)}.3^\dfrac{\alpha(\alpha+1)(2\alpha+1)}2[/TeX]
Il reste donc à écrire: [latex]\alpha(\alpha+1)(2\alpha+1)=30[/latex] avec [latex]\alpha[/latex] entier. On trouve [latex]\alpha=2[/latex] et donc [latex]N=12^\2=144[/latex]

J'ai essayé de faire le plus simple et le plus clair possible (pour faire plaisir à YanYan ).

Je suis ravi que FRiZ se mette aux maths ! Et bien en plus !

Bonjour,
L'écriture primaire de ce méga-nombre est: 2^30 x 3^15
Le nombre cherché s'écrit donc forcément: 2^a x 3^b
Le chiffre 2 apparaitra dans le produit final:
(1+2+...+a) x (1+2+...+b) fois soit a(a+1) b(b+1) /4 fois
On a donc: a(a+1) b(b+1) /4 = 30 soit a(a+1) b(b+1) = 120
En tatonnant un peu, je trouve a=4 et b=2
Et donc le nombre cherché est: 2^4 x 3^2 = 144
Bonne journée.
Frank

Les réponses des autres sentent le gaz (de schiste) ?

Sérieusement, juste un commentaire: en n'en citant que certaines, on a du mal à savoir lorsqu'on n'est pas cité si c'est parce qu'il y a une erreur (qu'on aimerait alors bien corriger) ou si c'est simplement un oubli.

Merci de ta réponse. Et pour les autres au-dessus? (Ils sont peut-être dans le même cas d'incertitude).