Bonsoir

Un nombre n divisible par le produit de ses chiffres qui vaut 31104 :
n = 3612916224

3 * 6 * 1 * 2 * 9 * 1 * 6 * 2 * 2 * 4 = 31104
3612916224 / 31104 = 116156

Le nombre n ne doit pas être divisible par 10, sinon le produit de ses chiffres serait nul.
Puisque 31104 est pair, le nombre n doit être pair lui-aussi. Faute de quoi il ne serait pas divisible par 31104.
Par conséquent, on peut dire que n se termine par 2, 4, 6 ou 8.
J'ai aussi l'intuition que n est divisible par (2 ^ a) * (3 ^ b).

Pour la seconde question, je dirais oui.

Reste à démontrer tout ça...

Salut
Si j'ai bien compris la 1ere question
ce n'est pas trop difficile
je réponds OUI

je te propose quelques exemples =

1133616384
2349222912
2932422912
3113634816
3126916224
3131146368
6111438336


Pour la 2eme question, ce n'est plus de mon niveau

Bonne journée

La question est donc de savoir si on toujours trouver un nombre divisible par le produit de ses chiffres, si ce produit est de la forme (2 ^ a) * (3 ^ b) ? La réponse est oui.

Commençons par les puissances de 2 uniquement.

Je cherche à montrer qu’on peut trouver, pour tout n, un nombre An composé de n chiffres, tous des 1 ou des 2, tel que An est divisible par 2^n. En lui ajoutant ensuite des 2 devant (autant qu’il y a de 1 dans An), on aura un nombre répondant au problème.

Supposons donc que An existe.
Si An est aussi divisible par 2^(n+1), je prends An+1=2*10^n+An (j’ajoute un 2 devant An, quoi).
2*10^n est divisible par 2^(n+1) aussi, An+1 est composé de n chiffres, donc An+1 convient.
Si An n’est pas divisible par 2^(n+1). Le reste est de 0,5. Je prends An+1=10^(n+1)+An (j’ajoute 1 devant).
10^n est divisible par 2^n mais pas par 2^(n+1). Son reste est lui aussi de 0,5. Du coup An+1 convient.

J’ai fini de récurer. An existe toujours.
Par exemple 2, 12, 112, 2112 sont divisibles dans l’ordre par 2, 4, 8, 16…

En ajoutant des 2 devant An (autant qu’il y a de 1 dans An), on obtient un nombre divisible par le produit de ces chiffres quand celui-ci vaut 2^n.

On trouve par exemple que A7=2.122.112. Manque 3 fois le chiffre 2. Donc 2.222.122.112 est un nombre divisible par 2^7 dont le produit des nombres vaut 2^7.


Traitons le cas des 3. Plus vachard.

Faute de Latex, je note S(n) le nombre constitué de n’1’ consécutifs. S(3)=111, S(9)=111111111…
On peut voir que
S(3) est divisible par 3, mais pas par 9 (reste 1/3).
S(6) est divisible par 3, mais pas par 9 (reste 2/3)
S(9) est divisible par 9
On peut montrer par récurrence aussi que S(3^n) est divisible par 3^n, mais pas par 3^(n+1). Comme S(2*3^n). et bien sûr S(3^(n+1)) divisible par 3^(p+1).
C’est vrai aussi pour S(3^n)*10^p, quel que soit p.

Donc supposons que An, comportant p chiffres, soit divisible par 3^n. Et que le produit de ces p chiffres vaille 2^a*3^(n+1). Quelque soit a.
Si An est aussi divisible par 3^(n+1), An+1=An fait l’affaire, et repond à notre problème posé.
SI An ne l’est pas, le reste dans la division par 3^(n+1) vaut 1/3 ou 2/3.
Du coup An+1 = S(3^n)*10^p + An ou An+1=S(2*3^n)*10^p+An vont faire l’affaire. Et répondre au problème posé puisqu’on n’a pas modifié le produit des chiffres, qui reste le même que An.

En gros, on ajoute des 1 à gogo devant An et on tombe sur un An+1 qui fait l’affaire. C’est un peu ‘brute force’ mais bon.
En combinant les deux approches (pour les 2 et pour les 3), ça marche bien puisqu’on traite les 2 avec les premiers chiffres, et les 3 avec les suivants.

Appliquons au cas proposé en exemple
Dans le cas d’un produit valant 31104 = 2^7*3^5
On a vu que 2.222.122.112 répond au problème pour 2^7
On peut même passer à 12.222.122.112, qui a le mérite d’être divisible par 3
On ajoute des 3 (ou des 9) devant. Par exemple 3339 (mieux pour la divisibilité cherchée.
Alors A=333.912.222.122.112 est divisible par 2^7, le produit de ces chiffres vaut 2^7*3^5, mais il n’est divisible que par 3^3…reste 1/3

Du coup, en appliquant la technique pour 3, on créé B=S(2*3^3)*10^15+A , qui est divisible par 3^4. Cool.
Mais bon B=111.111.111.111.111.111.111.111.111.111.111.111.111.111.111.111.111.111.333.912.222.122.112

Et B toujours pas divisible par 3^5…
Pour ça il faut passer à C=10^70*S(2*3^4)+B. On se retrouve avec 150 ou 231 ‘1’ devant A (je n’ai pas vérifié lequel des deux convient).
Bref, ça marche, mais c’est brutal et lourdingue.
Pas mieux.

Salut Nodgim,

J’étais bien certain que tu ne laisserais pas passer cette ‘légèreté’ 😊
Alors allons-y.

Par construction de S, on peut vite voir que S(3^(n+1))=[10^(2*3^n)+10^(3^n)+1)]*S(3^n)
Et S(3)=111.
Donc S(3^n) est le produit des termes [10^(2*3^p)+10^(3^p)+1)], p variant de 0 à n-1.
De fait S(3^n)/3^n est le produit des n termes [10^(2*3^p)+10^(3^p)+1)]/3.
10^m/3 est de la forme 33..33,333… Donc chacun des n termes de s(3^n) est de la forme 3Ki+1. S(3^n)/3^n est bien entier, mais son reste par la division par 3 est 1/3… S(3^n)/3^(n+1) n’est pas entier.

ça devrait faire l’affaire 😊

Tu as eu raison d'insister... J'avais affirmé ce truc sans vérifier de façon vraiment formelle : l'instinct me disait que c'était assurément vrai. Mais bon, l'instinct me disait aussi que Boris Johnson allait se prendre une dérouillée la semaine dernière, comme Trump en 2016.

Comme quoi l'instinct marche mieux en maths qu'en politique anglo-saxonne. Reste à le démontrer bien sûr :-)