Enigme Moyenne des permutations d'un nombre de 3 chiffres @ Prise2Tete

gabrielduflot · #1

Je ne sais si ce sujet a été posé. J'ai vu cette question dans un concours

Prenons le nombre 407. On donne toutes les permutations de ce nombre
047;074;407;470;704 et 740

On fait la moyenne de ces 6 nombres: (047+074+407+470+704+740)/6=407 et on retombe sur le nombre initial.

Trouver tous les nombres de 3 chiffres tous différents vérifiant cette propriété

Klimrod · #2

Bonjour,
Si je ne me suis pas trompé, tous les multiples de 37 ayant trois chiffres vérifient cette propriété.
Klim.

[Edit] Bah oui, je me suis trompé, j'ai été trop rapide
Si le nombre cherché s'écrit abc, alors la moyenne de toutes les permutations est égale à :
[ 100(2a+2b+2c) + 10(2a+2b+2c) + (2a+2b+2c) ] / 6 = 37(a+b+c)
Il faut donc chercher les nombres abc tels qu'ils soient égaux à 37(a+b+c)
La condition "multiple de 37" n'est donc pas suffisante.

titoufred · #3

Un nombre qui s'écrit "abc" vaut 100a+10b+c.
La moyenne des permutations vaut 37(a+b+c).

L'égalité entre les deux donne l'équation 7a=3b+4c.

Modulo 7, cela donne que [latex]0 \equiv 3(b-c)[/latex] et puisque 3 est premier avec 7, on en déduit que 7 divise b-c.

Puisque [latex]b \neq c[/latex], ça fait 6 possibilités pour (b,c) : (0,7), (7,0), (1,8), (8,1), (2,9) et (9,2)

Et l'on trouve finalement 6 nombres qui conviennent : 407, 370, 518, 481, 629 et 592.

gwen27 · #4

La somme de ses chiffres multipliée par 222 /6 doit être égale au nombre

Le nombre est donc égal à 37 fois la somme de ses chiffres soit les multiple de 111 et quelques exceptions :
111
222
333
370
407
444
481
518
555
592
629
666
777
888
999

Papy04 · #5

En écrivant que le nombre "abc"=100a+10b+c
on arrive à
222a+222b+222c=6(100a+10b+c)

En simplifiant on obtient:
7a-3b-4c=0

Sachant que a, b et c ne peuvent prendre que les valeurs entières 0 à 9 et en éliminant tous les cas impossibles, j'obtiens 5 nombres en plus du 407 de l'exemple:

370 481 518 592 629

franck9525 · #6

Soit le nombre N=100a+10b+c avec a,b et c entre 0 et 9
on a donc N=[ 2(a+b+c) + 20(a+b+c) +200(a+b+c) ] / 6= 111(a+b+c)/3
soit 111(a+b+c)=300a+30b+3c
donc 189a=81b+108c ou 7a=3b+4c
il suffit maintenant de trouver les triplets abc distincts
407, 370 ou 518. Il y en a surement d'autres mais je n'ai pas de tableur sous la main.
edit: toutes les solutions sont 370, 407, 481, 518, 592, 629.

godisdead · #7

soit le nombre ABC
On a (222A + 222B + 222C) / 6 = 100A + 10B + C
37(A+B+C) = 100A + 10B + C
Excel est mon ami
111
222
333
370
407
444
481
518
555
592
629
666
777
888
999

Edit : Après la précision sur les nombres différents, petit filtre visuel.

370
407 (nombre de départ)
481
518
592
629

Franky1103 · #8

Soit abc ce nombre qui s'écrit donc: 100a+10b+c
La moyenne est: (222a+222b+222c)/6 = 37.(a+b+c)
On doit donc avoir: 100a+10b+c = 37.(a+b+c)
ou encore: 63a = 27b + 36c, soit: 7a = 3b + 4c
Cette relation est vérifiée par les seuls six nombres à
chiffres différents: 370, 407, 481, 518, 592, 629

Il doit bien y avoir du Diophante ou du Bezout là dessous,
mais je n'arrive pas à le démontrer avec rigueur. rivas,
grand amateur d'algèbre parmi nous se fera un plaisir de
démontrer cela.

golgot59 · #9

si le nombre s'écrit "abc", où "a" est le chiffre des centaines, "b" celui des dizaines et "c" celui des unités.

Les 6 permutations donnent :
abc; acb; bac; bca; cab; cba

La moyenne fait donc 2(a+b+c+10(a+b+c)+100(a+b+c))/6 qui doit être égale à 100a+10b+c
ou encore : a+b+c+10(a+b+c)+100(a+b+c)=300a+30b+3c

On a donc plusieurs possibilités :

1/ pas de retenue : a+b+c < 10
Alors a+b+c = 3c (unités)
a+b+c = 3b (dizaines)
a+b+c = 3a (centaines)

3a=3b=3c donc a=b=c => les 3 chiffres ne sont pas tous différents

2/ retenue de 1 : etc.

On obtient finalement les valeurs : 370; 407; 481; 518; 592; 629

gilles355 · #10

1/6 [(100x+10y+z)+(100x+10z+y)+(100y+10x+z)+(100y+10z+x)+(100z+10x+y)+(100z+10y+x)]
= 222/6 (x+y+z) = 37(x+y+z)

On cherche les triplets x,y,z tel que : 37(x+y+z) = 100x+10y+z
c'est à dire tel que : 63x = 27y + 36z
ou encore : 7x = 3y + 4z

pour x=0 pas de solutions.
pour x=1 on a y=1 et z=1 soit le nombre 111
de la même façon on obtient tous les nombres à 3 chiffres égaux soit : 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888 et 999
pour x=2 pas d’autres solutions
pour x=3 y=7 z=0
pour x=4 , (y=0 z=7) et (y=8 z=1)
pour x=5, (y=1 z=8) et (y=9 z=2)
pour x=6 y=2 z=9
pour x=7 pas d’autres solutions
pour x=8 pas d’autres solutions
pour x=9 pas d’autres solutions

Les nombres sont donc dans l’ordre croisant :
111, 222, 333, 370, 407, 444, 481, 518, 555, 592, 629, 666, 777, 888 et 999

gwen27 · #11

N'ayant pas tilté sur "3 chiffres différents" un MP réduit le choix , il me reste 6 solutions :

370 407 481 518 592 629

gabrielduflot · #12

Que de bonnes réponses mais il faut tous les nombres dont les 3 chiffres sont différents

dylasse · #13

Si on note abc l'écriture en base 10 des nombres cherchés, on doit avoir :
37(a+b+c)=abc (en faisant la moyenne des 6 permutations.
Donc : 37(a+b+c)=100a+10b+c
Soit : 7a=3b+4c

Il y a 2 solutions avec des zéros : 407 et 370.
Ensuite, en ajoutant 1 à chaque chiffre d'une solution, on conserve une solution :
donc 518,629,481 et 492 sont également solutions.

Il n'y en a pas d'autres, puisque si on part d'une solution, en retranchant 111 on obtient une autre solution et ce jusqu'à avoir un zéro, donc une des 2 seules solutions 407 ou 370.

w9Lyl6n · #14

On cherche les (a,b,c) tels que 100a+10b+c = (a+b+c)*222/6 et tels que a,b et c sont dans {0,...9} et sont tous différents
=> 189a+81b-108c=0
=> 7a-3b-4c=0
=> 3(b-a)=-4(c-a)
=> (b-a,c-a) dans (4,-3)Z (Z=ensemble des entiers relatifs)
=> (a,b,c) = (1,1,1)i+(0,4,-3)j avec i dans {0...9} et j dans Z
On a suffisamment d'information pour trouver toutes les solutions: il suffit de faire varier i et j:
370
407
481
518
592
629

6 solutions en tout

fmifmi · #15

en écrivant le nombre sous la forme 100a+10b+c on a par permutation 6 nombres possibles dont la moyenne :(200(a+b+c)+20(a+b+c)+2(a+b+c))/6 vaut :100a+10b+c

en effectuant, on obtient l’équation : 7a-3b-4c=0 qui a le bon gout d’admettre la solution triviale a=b=c

en essayant tous les cas possibles( sans tableur! ) ce qui va assez vite( environ 15 minutes) on trouve les nombres suivants

370 407 481 518 592 629

je pense qu'il doit y avoir une méthode moins "bourin" pour résoudre dans N 7a-3b-4c=0 mais l’algèbre n'est pas trop mon truc

j ai fait le pb avec 4 chiffres en utilisant un tableur
il n y a pas de solutions

questions ouvertes: y a t il des solutions pour n>3?
qui sait exprimer l’équation (7a-3b-4c =0 pour n =3) en fonction de n je veux dire quelque soit n superieur a 3

MthS-MlndN · #16

Avec trois chiffres différents i, j et k, les six nombres concernés sont

100 i + 10 j + k
100 i + 10 k + j
100 j + 10 i + k
100 j + 10 k + i
100 k + 10 i + j
100 k + 10 j + i

Ce qui donne une somme de

222 (i + j + k)

et donc une moyenne de

37 (i + j + k)

On veut donc

100 i + 10 j + k = 37 (i + j + k)

On peut développer un peu :

63 i - 27 j - 36 k = 0

Et diviser par 9 :

7 i = 3 j + 4 k

Plus qu'à, et on peut ne chercher à vérifier cette propriété que pour les multiples de 37 à trois chiffres constitués de trois chiffres différents : 148, 185, 259, 296, 370, 407, 481, 518, 592, 629, 703, 740, 814, 851, 925 et 962. On ne garde donc que les six centraux :

370
407
481
518
592
629

les autres étant des permutations de ces six-là. Drôle de propriété, d'ailleurs...

elpafio · #17

Bonsoir,

Les nombres de 3 chiffres tous différents vérifiant la propriété exposée dans l'énoncé:

370, 407, 481, 518, 592 et 629

Pour la démonstration mathématique, je fais confiance aux spécialistes parce que je n'aurais pas le talent d'expliquer cela avec clarté

Merci pour cette curiosité algébrique

nodgim · #18

Ce sont tous les nombres abc dont l'équation diophantienne 7a=3b+4c avec 0<a,b,c<10, soit:
370
407
481
518
592
629
et leurs permutants.

shadock · #19

Finalement ce n'est pas très difficile !

Alors on pose : [latex]A=\overline {a b c}=10^2a+10b+c[/latex]

On cherche donc A tel que :
[TeX]\frac{\overline {a b c}+\overline {a c b}+\overline {b a c}+\overline {b c a}+\overline {c a b}+\overline {c b a}}{6}=\overline {a b c}[/TeX]
Soit après développement et factorisation : [latex]37*(a+b+c)=100a+10b+c[/latex]

On fixe alors [latex]c[/latex] et on résous 10 équations diophantiennes correspondantes à [latex]c=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}[/latex]

Valeurs possibles de a et b après résolution

Pour [latex]c=0[/latex] on a [latex]a=\{3,6,9\}[/latex] et [latex]b=\{0,7\}[/latex]
Pour [latex]c=1[/latex] on a [latex]a=\{1,4,7\}[/latex] et [latex]b=\{1,8\}[/latex]
Pour [latex]c=2[/latex] on a [latex]a=\{2,5,8\}[/latex] et [latex]b=\{2,9\}[/latex]
Pour [latex]c=3[/latex] on a [latex]a=\{3,6,9\}[/latex] et [latex]b=\{3\}[/latex]
Pour [latex]c=4[/latex] on a [latex]a=\{1,4,7\}[/latex] et [latex]b=\{4\}[/latex]
Pour [latex]c=5[/latex] on a [latex]a=\{2,5,8\}[/latex] et [latex]b=\{5\}[/latex]
Pour [latex]c=6[/latex] on a [latex]a=\{3,6,9\}[/latex] et [latex]b=\{6\}[/latex]
Pour [latex]c=7[/latex] on a [latex]a=\{1,4,7\}[/latex] et [latex]b=\{0,7\}[/latex]
Pour [latex]c=8[/latex] on a [latex]a=\{2,5,8\}[/latex] et [latex]b=\{1,8\}[/latex]
Pour [latex]c=9[/latex] on a [latex]a=\{3,6,9\}[/latex] et [latex]b=\{2,9\}[/latex]

En contant les nombres qui ont aussi deux chiffres égaux il y a au total [latex]6*6+3*4=48[/latex] nombres vérifiant cette propriété.
Il y en a [latex]48-9=39[/latex] vérifiant l'énoncé si je ne me trompe pas.
Je ne les écrit pas mais je ne pense pas en avoir omit ou avoir fait une erreur.

Shadock

gabrielduflot · #20

Question subsidiaire: Trouver le plus grand nombre avec tous les chiffres différents ou tous les nombres ayant cette propriété

je ne sais pas s'il y en a d'autres.

godisdead · #21

Pour la question subsidiaire, si tu reprends ma réponse, tu as tous les nombres ayant cette propriété (avec chiffre identique ou pas)

gabrielduflot · #22

Bonne réponse de tout le monde

Pour la question subsidiaire on prend un nombre à N chiffres différents. C'est de trouver le nombre le plus grand ou prouver que 629 est le plus grand pour ceux qui n'ont pas compris. on ne reste pas avec que des nombres de 3 chiffres

gwen27 · #23

J'aurais tendance à penser qu'il y en a d'autres :

Pour un nombre à n chiffres, la somme de toutes les permutations sera la somme de ses chiffres , multipliée par (n-1)! à chaque rang (soit x 111....)

La moyenne sera donc la somme de ses chiffres multipliée par 111... (n fois 1) puis divisée par n. Si cette moyenne a des chiffres tous différents et que la somme de ses chiffres donne la somme de départ, c'est gagné....

Démonstration pour 3 :
3 chiffres

Code:

somme    total    moyenne    somme moyenne
3        333      111    
4        444      148    
5        555      185    
6        666      222    
7        777      259    
8        888      296    
9        999      333    
10       1110     370          10
11       1221     407          11
12       1332     444    
13       1443     481          13
14       1554     518          14
15       1665     555    
16       1776     592          16
17       1887     629          17
18       1998     666    
19       2109     703    
20       2220     740    
21       2331     777    
22       2442     814    
23       2553     851    
24       2664     888

On retrouve bien nos 6 solutions...

Pour 4 à 8 chiffres, pas de solution :

Spoiler : [Afficher le message]

Mais pour 9 chiffres, j'en pressent 6 :

Spoiler : [Afficher le message]
10 chiffres Pas de solution non plus

Spoiler : [Afficher le message]

titoufred · #24

Bravo gwen, magnifique !

Notons que l'on peut s'éviter quelques vérifications en remarquant que si n est premier avec "1...1" (n chiffres), il ne peut y avoir de solution :
En effet, pour une éventuelle solution x, il faudrait alors que n divise la somme des chiffres de x, donc cette somme vaudrait kn, où k est un chiffre, et donc x vaudrait "k...k".

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