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	Forum » Enigmes Mathématiques » Une somme de 3 produits Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=Ebichu]Je ne détaille pas tous les petits raisonnements, mais l'idée générale de la solution. On se ramène à rechercher (x,y,z) trois entiers >0 tels que 2017x+1789y=1492z (il faut aussi considérer les cas où c'est 2017x, ou alors 1789y qui sont tous seuls, mais ils conduisent à de moins bonnes solutions). On résout déjà 2017x+1789y=1 dans Z avec par exemple l'algorithme d'Euclide étendu. On trouve une solution particulière x=-102 et y=115. On résout ensuite 2017x+1789y=1492z dans Z, en multipliant la solution particulière par 1492z. Les solutions sont du type : * x = -152184z+1789k * y = 171580z-2017k, avec k dans Z. Donc on recherche le plus petit z tel qu'il existe k dans N tel que -152184z+1789k>0 et 171580z-2017k>0. Ceci fournit 152184z/1789 < k < 171580z/2017. En supprimant la partie entière, on obtient 119z/1789 < k' < 135z/2017 : on cherche le premier z tel que ces deux quotients encadrent un entier. La première valeur de z qui convient est 15. On en déduit k=1276, x=4 et y=8, soit finalement : 20175+17899+14921=20171+17891+149216=27678. On obtient facilement un S qui s'exprime avec 100 triplets distincts : il suffit de multiplier 119/1789 et 135/2017 par un z suffisamment grand pour que l'écart entre eux deux contienne au moins 99 entiers. Par exemple, avec z=241000, on calcule x = -152184z+1789k et y = 171580z-2017k pour k entre (20485000+16031) et (20485000+16130), et on en déduit 100 sommes différentes valant 359577298.[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : Si il y a 88 pommes et que vous en prenez 44, combien vous en avez ? Retour Résumé de la discussion nodgim 16-12-2017 08:54:09 Bonjour à tous. Pour nous changer un peu les idées. Soit l'expression S = 2017a + 1789b + 1492c, où a,b, c sont entiers naturels non nuls. Trouver le plus petit S qui s'exprime avec 2 triplets (a;b;c) distincts. Trouver un S qui s'exprime avec 100 triplets distincts. Tout ça à la main, bien entendu, laissez reposer vos machines. Bonne recherche Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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