Durant cet été, l'office de tourisme du lieu proposait un espace où les estivants pouvaient jouer avec de grands jeux en bois.
Parmi ceux-ci, mon attention a été attirée par un jeu qui comporte un plateau circulaire en bois d'arbre suspendu par un fil à une potence, et sur lequel on vient déposer, un par un et délicatement, des cylindres  du même métal. On peut y jouer seul ou à plusieurs, chacun son tour. Après un certain nombre de dépôts, invariablement, les pièces font badaboum, à la plus grande joie des spectateurs.
Je me suis empressé de le reproduire à plus petite échelle :



En ce qui concerne l'exemplaire que vous avez sous les yeux, le plateau a un diamètre Dp = 28 cm, une épaisseur Ep = 1 cm. Il comporte en son centre une vis en acier percée d'un petit trou pour la fixation du fil, et dont la hauteur de tête Ht = 0.6 cm. La masse totale du plateau s'élève à Mp = 350 g.
Les pièces cylindriques, dont le nombre est suffisant pour garantir le badaboum final, ont un diamètre Dc = 2.6 cm, une hauteur Hc = 3.8 cm et une masse mc = 11.5 g. Le coefficient d'adhérence des pièces sur le plateau atteint la valeur assez étonnante f = 0.28.

                   

On fera l'hypothèse que toutes ces données sont rigoureusement exactes, que le fil  possède une rigidité nulle, qu'il est accroché à la valeur Ht au dessus du plateau, que le centre de gravité du plateau est situé à Ep/2 au dessous de sa surface, que toutes les pièces sont homogènes, que le coefficient d'adhérence est identique sur toute la surface du plateau, que tous les joueurs sont parfaitement intelligents et habiles et que, pendant un jeu, il n'y a ni souffle de vent ni tremblement de terre, et plus encore si affinité.

Pour un jeu en solitaire :
- à quelle distance maximale d du centre du plateau (prise dans la direction de celui-ci) peut-on placer une pièce unique ?
- quel nombre maximum de pièces N  peut-on disposer sur le plateau ?
Doit-on respecter une stratégie particulière pour espérer arriver à ce résultat ?

Pour un jeu à deux :
- existe-t-il une stratégie gagnante pour l'un ou l'autre des deux joueurs ? (question ouverte, j'ai bien quelques idées, mais pas de démonstration à proposer...)

(Contrairement à mes habitudes, j'ai adopté le vieux système cgs, mieux adapté aux valeurs utilisées ici, plutôt que le système ISO.)

Spoiler : [Afficher le message] Le calcul du nombre maxi N de pièces s'effectue à partir d'une simple équation sur un axe vertical, le plateau étant supposé horizontal.
Spoiler : [Afficher le message] Ce n'est pas une question de géométrie, c'est une question d'équilibre !