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Ebichu · Résumé de la discussion

Bonjour à tous,

je m'acquitte du gage de nobodydy avec cette énigme. Rien de très original, mais d'aucuns trouvent cela divertissant.

7 cases F-A-B-C-D-E-F sont placées côte à côte, de gauche à droite. On place un jeton sur une des 5 cases A, B, C, D, E, puis on lance un dé, et on déplace le jeton en conséquence. Lorsque le jeton atteint une des deux cases F-inales (placées aux extrémités), le jeu s'arrête.

Voici les règles de déplacement :
* un jeton placé en A se déplace vers la gauche si le résultat du dé est 1, vers la droite sinon.
* un jeton placé en B se déplace vers la gauche si le résultat du dé est 1 ou 2, vers la droite sinon.
* un jeton placé en C se déplace vers la gauche si le résultat du dé est 1 ou 2 ou 3, vers la droite sinon.
* un jeton placé en D se déplace vers la gauche si le résultat du dé est 1 ou 2 ou 3 ou 4, vers la droite sinon.
* un jeton placé en E se déplace vers la gauche si le résultat du dé est 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5, vers la droite sinon.

1) Quelle est la probabilité que le jeton finisse sur la case F de gauche s'il est placé initialement sur la case A ?
2) Quel est le nombre moyen de coups d'une partie si le jeton est placé initialement sur la case C ?
3) Quel est le nombre médian de coups d'une partie si le jeton est placé initialement sur la case C ?

Amusez-vous bien.

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	Forum » Enigmes Mathématiques » Dé-placement d'un jeton Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=Klimrod]Merci Ebichu. Pour la 3ème réponse qui correspond en fait à la 2ème question, je m'en doutais, ça m'a traversé l'esprit quand je l'ai rédigée. Donc rectification : [u]1ère question[/u] : Appelons P(A) la probabilité que le jeton en A termine en F à gauche. Alors P(A) = 1/6 + P(B)5/6 et P(B) = P(A)2/6 + P(C)4/6 et P(C) = 1/2 (par symétrie, autant de chance de finir à gauche qu'à droite) Donc [b]P(A) = 8/13[/b], P(B) = 7/13 et P(C) = 6,5/13 = 1/2 Et P(D) = 1 - P(B) = 6/13 et P(E) = 1 - P(A) = 5/13 [u]2ème question[/u] : Appelons N(C) le nombre moyen de coups pour terminer quand le jeton est en C. Alors : N(C) = 1 + N(B)3/6 + N(D)3/6 = 1 + N(B) N(B) = 1 + N(A)2/6 + N(C)4/6 N(A) = 1 + N(B)5/6 On en déduit que : N(A) = 31, N(B) = 36 et [b]N(C) = 37[/b] Et N(D) = N(B) = 36 et N(E) = N(A) = 31 [u]3ème question[/u] : J'ai du mal avec la définition du nombre médian. Je suppose qu'on met le jeton en C et qu'il faut calculer la probabilité P(3) de finir en 3 coups + la probabilité P(5) + P(7) + ... jusqu'à ce que la somme fasse 1/2. D'une part je ne suis pas certain que ce soit correct, et d'autre part je ne suis pas certain d'être capable de faire ce calcul. Klim. [Edit] [u]3ème question[/u] : Appelons P(C,n) la probabilité que l'on termine en n coups ou moins avec le jeton en C. Alors : P(C,n) = P(B,n-1)3/6 + P(D,n-1)3/6 = P(B,n-1) P(B,n) = P(A,n-1)2/6 + P(C,n-1)4/6 P(A,n) = 1/6 + P(B,n-1)5/6 Avec : P(A,1) = 1/6 P(B,1) = 0 et P(B,2) = 2/6 1/6 P(C,1) = 0 et P(C,2) = 0 et P(C,3) = 2/6 * 1/6 Le but est de trouver n tel que P(C,n) = 1/2 Si je ne me suis pas trompé, on en déduit la relation de récurrence : P(C,n) = 2/36 + P(C,n-2)34/36 Comme n est impair, de la forme 2k+1 : P(C,n) = 2/36 [1 + (34/36) + (34/36)^2 + (34/36)^3 + ... + (34/36)^(k-1) ] Il faut trouver k tel que cette expression soit égale à 1/2 (ou proche de 1/2). Toujours si je ne me suis pas trompé, on trouve k=12, donc [b]n = 25[/b][/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez à la devinette suivante : Le père de toto a trois fils : Pif, Paf et ? Retour Résumé de la discussion Ebichu 17-10-2019 17:39:19 Bonjour à tous, je m'acquitte du gage de nobodydy avec cette énigme. Rien de très original, mais d'aucuns trouvent cela divertissant. 7 cases F-A-B-C-D-E-F sont placées côte à côte, de gauche à droite. On place un jeton sur une des 5 cases A, B, C, D, E, puis on lance un dé, et on déplace le jeton en conséquence. Lorsque le jeton atteint une des deux cases F-inales (placées aux extrémités), le jeu s'arrête. Voici les règles de déplacement : * un jeton placé en A se déplace vers la gauche si le résultat du dé est 1, vers la droite sinon. * un jeton placé en B se déplace vers la gauche si le résultat du dé est 1 ou 2, vers la droite sinon. * un jeton placé en C se déplace vers la gauche si le résultat du dé est 1 ou 2 ou 3, vers la droite sinon. * un jeton placé en D se déplace vers la gauche si le résultat du dé est 1 ou 2 ou 3 ou 4, vers la droite sinon. * un jeton placé en E se déplace vers la gauche si le résultat du dé est 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5, vers la droite sinon. 1) Quelle est la probabilité que le jeton finisse sur la case F de gauche s'il est placé initialement sur la case A ? 2) Quel est le nombre moyen de coups d'une partie si le jeton est placé initialement sur la case C ? 3) Quel est le nombre médian de coups d'une partie si le jeton est placé initialement sur la case C ? Amusez-vous bien. Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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