Un exemple pour Klimrod. Je précise que le jeton ne se déplace que d'une case à la fois, ce n'était peut-être pas assez clair.

On place le jeton initialement en C.
On lance le dé, le résultat est 2 : le jeton va vers la gauche et se retrouve en B.
On lance le dé, le résultat est 4 : le jeton va vers la droite et se retrouve en C.
On lance le dé, le résultat est 6 : le jeton va vers la droite et se retrouve en D.
On lance le dé, le résultat est 5 : le jeton va vers la droite et se retrouve en E.
On lance le dé, le résultat est 4 : le jeton va vers la gauche et se retrouve en D.
On lance le dé, le résultat est 5 : le jeton va vers la droite et se retrouve en E.
On lance le dé, le résultat est 6 : le jeton va vers la droite et le jeu est terminé.

Salut Ebichu,
J'ai compris les déplacements à gauche, mais pas à droite. Ex.: comment, en étant C et en ayant eu 6 au dé, on se retrouve en D ?
A+

@Klimrod : 1) et 2) incorrects car tu fais comme si sur chaque case, on avait autant de chance d'aller vers la gauche que la droite.
3) correct, si ce n'est que tu calcules ici la réponse à la question 2).

Tu ne vas pas avoir de mal à corriger la question 1), il suffit de rajouter les pondérations à ton raisonnement.

Pour la question 3), il faudra un autre raisonnement.

Merci Ebichu. Pour la 3ème réponse qui correspond en fait à la 2ème question, je m'en doutais, ça m'a traversé l'esprit quand je l'ai rédigée.
Donc rectification :

1ère question :

Appelons P(A) la probabilité que le jeton en A termine en F à gauche.
Alors P(A) = 1/6 + P(B)*5/6
et P(B) = P(A)*2/6 + P(C)*4/6
et P(C) = 1/2 (par symétrie, autant de chance de finir à gauche qu'à droite)
Donc P(A) = 8/13, P(B) = 7/13 et P(C) = 6,5/13 = 1/2
Et P(D) = 1 - P(B) = 6/13 et P(E) = 1 - P(A) = 5/13

2ème question :

Appelons N(C) le nombre moyen de coups pour terminer quand le jeton est en C.
Alors :
N(C) = 1 + N(B)*3/6 + N(D)*3/6 = 1 + N(B)
N(B) = 1 + N(A)*2/6 + N(C)*4/6
N(A) = 1 + N(B)*5/6

On en déduit que :
N(A) = 31, N(B) = 36 et N(C) = 37
Et N(D) = N(B) = 36 et N(E) = N(A) = 31

3ème question :

J'ai du mal avec la définition du nombre médian.
Je suppose qu'on met le jeton en C et qu'il faut calculer la probabilité P(3) de finir en 3 coups + la probabilité P(5) + P(7) + ... jusqu'à ce que la somme fasse 1/2.

D'une part je ne suis pas certain que ce soit correct, et d'autre part je ne suis pas certain d'être capable de faire ce calcul.

Klim.

[Edit]
3ème question :
Appelons P(C,n) la probabilité que l'on termine en n coups ou moins avec le jeton en C.
Alors :
P(C,n) = P(B,n-1)*3/6 + P(D,n-1)*3/6 = P(B,n-1)
P(B,n) = P(A,n-1)*2/6 + P(C,n-1)*4/6
P(A,n) = 1/6 + P(B,n-1)*5/6
Avec :
P(A,1) = 1/6
P(B,1) = 0 et P(B,2) = 2/6 * 1/6
P(C,1) = 0 et P(C,2) = 0 et P(C,3) = 2/6 * 1/6
Le but est de trouver n tel que P(C,n) = 1/2

Si je ne me suis pas trompé, on en déduit la relation de récurrence :
P(C,n) = 2/36 + P(C,n-2)*34/36
Comme n est impair, de la forme 2k+1 :
P(C,n) = 2/36 * [1 + (34/36) + (34/36)^2 + (34/36)^3 + ... + (34/36)^(k-1) ]
Il faut trouver k tel que cette expression soit égale à 1/2 (ou proche de 1/2).
Toujours si je ne me suis pas trompé, on trouve k=12, donc n = 25

Merci.

Je ne savais pas que la médiane devait dépasser 1/2. J'ai proposé le k qui formait une somme la plus proche de 1/2, en l'occurrence 0,496 pour k=12 (alors que la somme fait 0,524 pour k=13).

A noter que j'ai transpiré mathématiquement pour trouver la relation de récurrence
P(C,n) = 2/36 + P(C,n-2)*34/36
Mais celle-ci s'explique très facilement.

P(C,n) est la probabilité de finir en n coups ou moins en partant du point C.
C'est aussi la somme de la probabilité de finir en exactement 2 coups + la probabilité de finir en n-2 coups ou moins.

Vu comme ça, c'est tout bête 😊.

Merci pour cette intéressante énigme.
Pour 1 et 2, j'y étais presque.
Mais pour 3, pas du tout.