Tu veux soit dire que le polynôme a une racine double, soit que l'équation a une et une seule solution. (C'est le prof de maths qui parle )
$$ax^2+bx+c[/latex] admet une racine double si et seulement si [latex]b^2=4ac[/latex]. Avec les trois qui sont des entiers tirés par un dé, on peut avoir : [latex]2^2 = 4 \times (1 \times 1)$$
$$4^2 = 4 \times (1 \times 4) = 4 \times (2 \times 2) = 4 \times (4 \times 1)$$
$$6^2 = 4 \times (3 \times 3)$$
Donc, sur les $6^3=216$ tirages $(a,b,c)$ possibles, il y en a 5 qui respectent la condition imposée : $(1,2,1) ; (1,4,4) ; (2,4,2) ; (4,4,1) ; (3,6,3)$.

La probabilité recherchée est donc de $\frac{5}{216}$.

Le polynôme ax²+bx+c a une racine double ssi b²-4ac=0.
Cinq triplets (a,b,c) vérifient cette équation:
(1,2,1) , (1,4,4) , (2,4,2) , (4,4,1) et (3,6,3).
Chacun de ses triplets a une proba de 1/216 de sortir.
Donc la proba que le polynôme est une racine double est:
5/216.

Si racine double il y a, alors b^2 = 4ac
On va dénombrer ces cas:
Pour a = 1, 4a=4 est un carré donc c est un carré et vaut 1 ou 4 (et b vaut alors 2 ou 4)
Pour a=2, 4a=8 = 2*4, donc c vaut 2 fois un carré et vaut donc 2 (et b vaut alors 4)
Pour a=3, c vaut 3 fois un carré et vaut donc 3 (et b vaut donc 6)
Pour a=4, c est un carré et peut être égal à 1 (b vaudrait alors 4) mais pas à 4 (b ne pouvant être égal à 8)
Pour a=5 ou 6, pareil c=5 ou 6, mais b ne peut pas faire 10 ou 12


Au final donc, 5 combinaisons valables dénombrées sur un total de 6^3
La réponse est donc 5/216

a,b,c sont des entiers positifs de [1,6] il y 6^3 jeux possibles

si la racine de ax^2+bx+c=0 est double on a b^2=4ac

donc b est pair (2, 4 ,6) et ac=(1,4,9)
1=1*1
4=1*4=2*2=4*1
9=3*3

donc il y a 5 solutions soit une probabilité de 5/6^3=0.023

racine double ssi b²-4ac=0
ie 4|b^2
donc b=2,4 ou 6

b=2 donne a=c=1
b=4 bonne ac=4, donc (1,4) ,(2,2) ou (4,1) pour (a,c)
b=6 donne ac=9 soit a=c=3

5 possibilités sur 216=6^3

p=5/216

On doit avoir $b^2=4ac$ donc b est pair .

Si b=2 alors ac=1 c'est à dire a=c=1 .
Si b=4 alors ac=4 c'est à dire (a,c) dans {(1,4),(2,2),(4,1)}
Si b=6 alors ac=9 c'est à dire a=c=3 .

Donc 5 solutions gagnantes sur $6^3=216$ possibilités $P=\frac{5}{216}$ .

Un peu plus de 2%

Vasimolo

Bonjour,
On fait varier a, b et c chacun de 1 à 6, donc 6^3 = 216 possibilités.
On calcule pour chacune des possibilités la valeur de bb - 4ac (sur Excel: je suis fainéant) qui s'annule 5 fois pour abc valant respectivement 121, 144, 242, 363 et 441.
La réponse est donc 5 / 216 = env. 2,31%.
Ma méthode est un peu "bulldozer" (normal: je travaille dans le BTP), mais une démonstration plus "théorique" me semble bien plus compliquée et sourtout sujette à erreur (comme quoi, les bulldozers ont aussi un bon côté).
Bonne journée.
Frank

L’équation admet une racine double lorsque le discriminant b²-4ac est nul.
on obtient les cinq triplets suivants:
a = 1  1  2  3  4
b = 2  4  4  6  4
c = 1  4  2  3  1
ce qui donne une probabilité de $P=\frac{5}{6^3}\approx 2.3%$

il faut que trouver tous les couples (a;b;c) dans {1;2;3;4;5;6} tel que b²-4ac=0 d'où b²=4ac donc b est pair donc b=2 ou 4 ou 6
si b=2 alors b²=4 donc ac=1 donc a=c=1
si b=4 alors b²=16 donc ac=4 donc 3 solutions (a;c)=(1;4);(2;2) ou (4;1)
si b=6 alors b²=36 donc ac=9 donc a=c=3
donc P(racine double)= 5/216