On taillera juste assez de parts (un nombre k) pour que nk soit multiple de 360.

J'en déduis que l'angle de chaque nouvelle part est a=pgcd(n,360).

Le nombre de parts taillées est alors 360/pgcd(n,360), mais comme on sait que pgcd(a,b)*ppcm(a,b)=a*b, on peut simplifier :

On aura découpé ppcm(n,360)/n parts.

Prendre un angle, c'est prendre [latex]$x$[/latex] fois [latex]$2\pi$[/latex] (ou [latex]$x$[/latex] fois 360 degrés).

Si [latex]$x$[/latex] est un rationnel, alors on retombera sur ses pattes, c'est une question de primalité qui détermine alors l'angle final: soit [latex]$x=p/q$[/latex] avec [latex]$p$[/latex] et [latex]$q$[/latex] premiers entre eux... Alors après [latex]$q$[/latex] itérations, on aura parcouru un angle total de [latex]$p\times 2\pi$[/latex] en tout et on découpé toutes les parts sans jamais retomber sur une découpe déjà faite (sinon ça contredit la primalité de [latex]$p$[/latex] et [latex]$q$[/latex].); et les parts sont d'angle [latex]$2\pi/q$[/latex]. Donc dans le cas un entier entre 1 et 360 pour des degrés, soit [latex]$n$[/latex] cet entier : alors on a [latex]$x=n/360=\frac{n/(n \wedge 360)}{360/(n \wedge 360)}$[/latex] et donc les parts auront un angle de [latex]$\frac{2\pi\times (n \wedge 360)}{360}$[/latex] soit en degrés : [latex]$ n\wedge 360$[/latex]. Exemple [latex]$n=95=19*5$[/latex] donnera des angles de [latex]$n\wedge 360=5$[/latex] degrés.

Si [latex]$x$[/latex] n'est pas un rationnel, alors on ne retombe jamais sur ses pattes et on découpe des parts toujours plus petites jusqu'à en faire de la bouillie. En même temps en découpant des parts de moins de 10 degrés je pense que c'est déjà de la bouillie.

Bonsoir

En fait ta question ne demande rien d'autre que de déterminer l'ordre de l'entier [latex]n[/latex] dans [latex]\mathbb{Z}/360\mathbb{Z}[/latex] . Si on note [latex]d=PGCD(n,360)[/latex] alors le nombre de parts est [latex]\frac{360}{d}[/latex] et l'angle de chaque part est [latex]d[/latex] .

Pour s'amuser , on peut aussi choisir un gabarit dont l'angle est un nombre rationnel de degrés , 57,24°  par exemple

Vasimolo