Bonjour

Pour moi ce n'est toujours pas une énigme mais une question de cours pour "matheux" . On regarde la base modulo 5 et l'exposant modulo 4 :

$3^1+2^2+3^4+4^0\equiv 0\ [mod\ 5]$ .

Vasimolo

Vasimolo : ok je reçois ton jugement concernant ma ... question
(qu'en est-il de l'énigme de Poalo et des réponses données ?)

Ceci étant acté, il manque quelque chose dans ton développement
pour qu'un non matheux puisse comprendre le sens de ton "modulo 4"

Ce qu'il y a de bien avec les maths c'est que leurs tautologies peuvent être parcourues par un non praticien* connaissant simplement les notations proposées.

Ici par exemple *il pourrait commencer par regarder les premières puissances des nombres donnés.

LeJeu : J'ai testé Wolfram en augmentant l'exposant, jusqu'à ce qu'il n'y ait pas de réponse
Mais ... je n'ai pas essayé la notation que tu as utilisée ... bien joué.

Reste à dire ... un peu ... pourquoi.

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PS bientôt (...? )  jouer aux échecs sera inutile l'unique chemin vers la victoire des blancs ou évitant toute erreur jusqu'au nul aura asséché ce divertissement qui nous a donné "l'Immortelle"
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https://fr.wikipedia.org/wiki/Partie_immortelle

Vasimolo
Le pâtissier

tu as raison
...
C'est cette solution qu'il faut proposer comme réponse à ma question.

Trève de Glaisanterie , j'ai échangé avec un ami concernant cette question
et il m'a demandé quelques précisions concernant ce que j'appelais le reste
(il a un CAP de magasinier, il est peintre de natures mortes, et joue aux échecs en club, mais n'a aucune connaissance en mathématiques)
Je lui ai donné le cas où l'on ne calcule pas le quotient décimal, ... (partage d'oranges)

Cela m'a montré qu'il manquait une précision dans mon énoncé (division entière)
et aussi que n'importe qui pouvait aborder ce sujet, voir même s'y intéresser, bien que quelques théorèmes d'arithmétique le rendent trivial pour ceux qui les maîtrisent.

Solution :

J'aime bien celle, très concise, de
Vasimolo
Le pâtissier

On regarde la base modulo 5 et l'exposant modulo 4 :
$$\\$$
$3^{1}+2^{2}+3^{4}+4^{0}   \equiv 0 \mod{5}$

qu'il a complété par

L'ensemble des éléments inversibles de Z/5Z est un groupe multiplicatif d'ordre 4 donc toute puissance d'exposant 4 d'un élément de cet ensemble est égale à 1 .

Pour ceux qui ne sont pas familiers de la théorie des groupes
et qui n'auraient pas compris le rôle des quatre termes de l'addition qu'il propose
il est possible de
calculer les 8 premières puissances* des nombres proposés (13, 17, 23 et 29)
On s'aperçoit alors que le chiffre des unités revient tous les 4 calculs (cyclique)

pour 13 : 3,9,7,1,3,9,7,1,...
pour 17 : 7,9,3,1,7,9,3,1,...
pour 23 : 3,9,7,1,3,9,7,1,...
pour 29 : 9,1,9,1,9,1,9,1,...


En calculant le reste dans la division par 4 des exposants
pour 1109761 c'est 1 on prendra donc le chiffre de la puissance 1 c'est  3 (13)
pour 107670002 c'est 2 on prendra donc le chiffre de la puissance 2 c'est 9, 13²=(169)
pour 139539 c'est 3 on prendra donc le chiffre de la puissance 3 c'est 7 (12167)
pour  11544004 c'est 0 on prendra donc le chiffre de la puissance 4 c'est 1

3 + 9 + 7 + 1 = 10
Le résultat du calcul donné aura donc pour chiffre des unités un 0
C'est un multiple de 5
Sa division par 5 donnera donc un reste nul ("tombera juste" )

La case réponse valide donc 0


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PS : avec un opinel on peut aussi sculpter le bois, c'est plus long, mais c'est possible... si on en a envie.

Franky1103 à écrit

Vasimolo a écrit:

$\\$

$3^{1}+2^{2}+3^{4}+4^{0}   \equiv 0 \mod{5}$

.

Je crois qu'il y a une petite coquille ...

Effectivement cet exposant 4 est étrange au coeur d'un raisonnement où l'on parle de congruence modulo 4 ((PLNM*)le reste dans la division par 4 ne peut être 4)

Effectivement cette coquille n'empêche pas (PLM*) la compréhension du raisonnement et Franky1103 a raison de conclure (PLM*)

mais on aura tous compris le raisonnement.

Merci et bonne journée.

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Mon copain Pascal n'a pas trop compris la solution de Vasimolo - quand je lui ai traduit -
Elle ne collait pas avec la mienne. (et ne donnait pas le résultat attendu)

En calculant le reste dans la division par 4 des exposants
pour 1109761 c'est 1 on prendra donc le chiffre de la puissance 1 c'est  3 (13)
pour 107670002 c'est 2 on prendra donc le chiffre de la puissance 2 c'est 9, 13²=(169) 
pour 139539 c'est 3 on prendra donc le chiffre de la puissance 3 c'est 7 (12167)
pour  11544004 c'est 0 on prendra donc le chiffre de la puissance 4 c'est 1

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REM :
1) Ma marque de fabrique étant l'erreur bête, je ne jette pas la pierre à propos de cette coquille. Juste une précision sur l'accessibilité des solutions *PLNM et *PLM.

2) Mon contact avec les Non Matheux autour de moi, m'a fait
renoncer de raccourcir en
"Il suffit de s'occuper du chiffre des unités" ... dans un premier temps.


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Note *PLNM Pour Les Non Matheux  *PLM Pour Les Matheux

Mince j'avais raté ça - pour une fois que je comprends l'énoncé 😂
Petit théorème de Fermat : a^4 mod 5 = 1 pour tout a non divisible par 5.
On simplifie en 13^1+17^2+23^3+29^4 mod 5 d'abord, puis en 3^1+2^2+(-2)^3+(-1)^4 et on trouve 3 + 4 -8 +1 = 0 mod 5