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	Forum » Enigmes Mathématiques » Intuition 1 : coloriage Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=scarta]Beaucoup de bonnes réponses, bravo ! Un peu de littérature (et de gastronomie), il existe un théorème, dit "du sandwich au jambon", qui indique (en 3 dimensions) qu'on peut couper un sandwich contenant du pain, du jambon et du gruyère en deux parties comportant chacune les même quantités pour chacun des 3 ingrédients, en un coup de couteau. En dimension N, on parle plutôt de parties Lebesgue-mesurables et d'un hyperplan, mais bon :) C'est un théorème assez complexe : en réalité sa démonstration est plutôt courte, mais elle s'appuie sur un autre théorème, celui de Borsuk-Ulam (pas mal aussi dans le genre contre-intuitif, qui indique par exemple qu'à tout moment, il existe deux points sur la Terre aux antipodes l'un de l'autre, où la pression ET la température sont identiques), et la démonstration de ce dernier est assez corsée (lacets, homotopies, etc...) Revenons en dimension 2: la démonstration est assez simple, elle a été bien traitée dans vos réponses, mais voici une version un peu formelle. Pour un cercle parfait * Je trace un diamètre quelconque, partant d'un point quelconque P du cercle * Je calcule r(P) la différence entre les surfaces rouges dans le sens horaire et dans le sens anti-horaire. r est une fonction continue * Au point diamétralement opposé P', j'aurai r(P') = -r(P) : les parties sont les mêmes, la soustraction est juste inversée ! * J'ai donc une fonction continue, qui admet des valeurs positives et d'autres négatives : elle admet un zéro, autrement dit un des diamètres coupera le disque de la manière demandée, avec autant de rouge de chaque côté (et donc autant de bleu, puisque ce qui n'est pas rouge est bleu et les deux demi-disques ont même surface) Pour une forme quelconque, pareil. Il faut simplement montrer que quel que soit le point de départ qu'on prend sur une telle forme, on peut la couper en deux parties égales via une droite qui passe par ce point, et ça se fait de la même manière. * J'ai un point de départ P * Pour tout point P' de la forme, je peux tracer la droite (PP') qui la coupera en deux (ou sera tangente, peu importe) * Je peux donc faire la différence entre les valeurs des surfaces de part et d'autre de cette droite, et en faire une fonction de P' * Et puisque cette fonction est elle-aussi continue, parfois positive et parfois négative, elle admet un zéro; On peut toujours couper cette forme en deux parties égales.[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez à la devinette suivante : Le père de toto a trois fils : Pif, Paf et ? Retour Résumé de la discussion scarta 06-09-2022 11:22:31 Hello ! Je me lance dans une série de problèmes sur le thème : "soit c'est faux, soit c'est hyper contre-intuitif" Mais la démonstration n'en sera pas forcément très compliquée pour autant ! On démarre avec cet énoncé : 1. Aline trace un cercle à main levée. 2. Bernard colorie en bleu une partie de la surface de ce disque 3. Richard colorie en rouge le reste de la surface du disque 4. Zoé prétend alors pouvoir tracer une droite qui coupera le cercle en deux parties, chacune contenant autant de bleu que l'autre et autant de rouge que l'autre. C'est vrai ou c'est faux ? (Vrai --> démonstration svp. Faux --> contre-exemple svp) Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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