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aunryz · Résumé de la discussion

Je me suis aperçu que
https://www.wolframalpha.com/input
pouvait aider à répondre de façon très brutale à l'énigme de Poalo*
Sans passer par le raisonnement (congruence des nombres donnés à 7 ... = 1)

(Ce qui m'a permis d'ailleurs de vérifier le résultat, je fais tellement de bourdes que j'aurais pu une fois de plus ...)

Cela m'a donné envie de faire une proposition relativement similaire
pour laquelle cet outil semble ne pas pouvoir donner brutalement la réponse.

Quel est le reste dans la division par 5 du nombre
$\\$ $13^{1109761}+17^{107670002}+23^{139539}+29^{11544004}$ $\text{?}$
Précision (merci Pascal) Ici on fait une division "entière" (on s'arrête lorsque ce qui reste est plus petit que 5 ... 19 : 5 donne 3 et il reste 4 )
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* l'énigme de Poalo
http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=14263

Solution brutale :
https://www.wolframalpha.com/input?i=78 … 5+modulo+7

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	Forum » Enigmes Mathématiques » Suite à "Énigme arithmétique" de Poalo Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=aunryz]Solution : J'aime bien celle, très concise, de Vasimolo Le pâtissier [quote]On regarde la base modulo 5 et l'exposant modulo 4 : [latex]\\[/latex] [latex] 3^{1}+2^{2}+3^{4}+4^{0} \equiv 0 \mod{5} [/latex][/quote] qu'il a complété par [quote]L'ensemble des éléments inversibles de Z/5Z est un groupe multiplicatif d'ordre 4 donc toute puissance d'exposant 4 d'un élément de cet ensemble est égale à 1 .[/quote] Pour ceux qui ne sont pas familiers de la théorie des groupes et qui n'auraient pas compris le rôle des quatre termes de l'addition qu'il propose il est possible de calculer les 8 premières puissances* des nombres proposés (13, 17, 23 et 29) On s'aperçoit alors que le chiffre des unités revient tous les 4 calculs (cyclique) pour 13 : [b]3[/b],9,7,1,3,9,7,1,... pour 17 : 7,[b]9[/b],3,1,7,9,3,1,... pour 23 : 3,9,[b]7[/b],1,3,9,7,1,... pour 29 : 9,1,9,[b]1[/b],9,1,9,1,... En calculant le reste dans la division par [b]4[/b] des exposants pour 1109761 c'est 1 on prendra donc le chiffre de la puissance 1 c'est 3 (13) pour 107670002 c'est 2 on prendra donc le chiffre de la puissance 2 c'est 9, 13²=(169) pour 139539 c'est 3 on prendra donc le chiffre de la puissance 3 c'est 7 (12167) pour 11544004 c'est 0 on prendra donc le chiffre de la puissance 4 c'est 1 3 + 9 + 7 + 1 = 10 Le résultat du calcul donné aura donc pour chiffre des unités un 0 C'est un multiple de 5 Sa division par 5 donnera donc un reste nul ("tombera juste" :D ) La case réponse valide donc [b]0[/b] ______ PS : avec un opinel on peut aussi sculpter le bois, c'est plus long, mais c'est possible... [i]si on en a envie[/i].[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : Dans une course, vous doublez le 20ème, en quelle position êtes-vous ? Retour Résumé de la discussion aunryz 11-05-2023 23:08:49 Je me suis aperçu que https://www.wolframalpha.com/input pouvait aider à répondre de façon très brutale à l'énigme de Poalo* Sans passer par le raisonnement (congruence des nombres donnés à 7 ... = 1) (Ce qui m'a permis d'ailleurs de vérifier le résultat, je fais tellement de bourdes que j'aurais pu une fois de plus ...) Cela m'a donné envie de faire une proposition relativement similaire pour laquelle cet outil semble ne pas pouvoir donner brutalement la réponse. Quel est le reste dans la division par 5 du nombre $\\$ $13^{1109761}+17^{107670002}+23^{139539}+29^{11544004}$ $\text{?}$ Précision (merci Pascal) Ici on fait une division "entière" (on s'arrête lorsque ce qui reste est plus petit que 5 ... 19 : 5 donne 3 et il reste 4 ) __ * l'énigme de Poalo http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=14263 Solution brutale : https://www.wolframalpha.com/input?i=78 … 5+modulo+7 Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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