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	Forum » Enigmes Mathématiques » Un marcheur d'un bon pas Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=dylasse]Super intéressant à résoudre, surtout que l'intuition, une fois n'est pas coutume, m'a trompée. Alors, on va commencer par définir les variables utilisées... C = vitesse moyenne du marcheur (ici 4km/h), D = durée de la marche (5 h), L = longueur du parcours (20 km). T = période d'observation continue sur laquelle on voudrait une vitesse moyenne = C. P(t) : position du marcheur à l'instant t. [u]Première étude [/u]: si D/T est un entier n (dans le cas, T = 1 heure, n=5) On pose f(t) = P(t) - C t, par construction f(0) = f(D)=0. (l'étude sur f à la place de P revient à faire le problème avec une vitesse moyenne nulle). On pose gT(t) = f(t+T) - f(t), gT est définie pour t € [0, D-T]. Résoudre le problème revient à trouver une valeur de t0 qui annule gT. Si gT(0) = 0, alors t0=0. Sinon, on va supposer gT(0) < 0 (toujours possible en remplaçant f par -f). Soit f(T) < 0 Supposons que pour tout t € [0;D-T], gT(t) < 0. Donc g(T) < 0 donc f(2T) < f(T) < 0 et par récurrence f(iT) < f(iT-T) < 0. Or f(nT)=f(D)=0 donc 0<0, c'est impossible Donc, il existe t1 tel que gT(t1)>=0. Par continuité entre 0 et t1, il existe t0 tel que gT(t0)=0. Donc si T = 1 heure, ou plus généralement si T est tel que D/T est entier, alors il existe t0 tel que (P(T+t0) - P(t0))/T = C. [u]Seconde étude [/u]: si D/T n'est pas entier. On pose n=E(D/T) (partie entière) et R= D-nT. On définie le mouvement du marcheur de la façon suivante (pour i = 0 à n-1): sur [iT;iT+T/2] : arrêt (Vit=0) sur [iT+T/2;IT+T], Vit = Vc constante. Et on poursuit sur [nT;nT+R] : Si R <=T/2 : sur [nT;R] : arrêt et on pose A = 0 (on a A<R/2) Si R >T/2 : sur [nT;nT+T/2] : arrêt et sur [nT+T/2;nT+R] : Vit=Vc et on pose A=R-T/2, soit R/2 + R/2 = T/2 + A comme R<T on a aussi A<R/2 rem : A correspond au temps de marche à vitesse Vc après nT. Calculons Vc pour que la vitesse moyenne du parcours soit C : C= (0 x (n x T/2 +min(R;T/2)) + Vc (n x T/2 + A))/D donc : Vc = C D / (n * T/2 + A) Comme nT+R= D et A<R/2, on a Vc/2 > C Sur chaque période I de temps de durée T, on a exactement T/2 temps d'arrêt et T/2 temps de marche à la vitesse Vc, la vitesse moyenne sur I est Vc/2 (> C). Pour le déplacement que nous avons construit, Il n'y a donc aucune période de durée T sur laquelle la vitesse moyenne est la vitesse moyenne du parcours total. Et comme un petit dessin vaut mieux qu'un long disours, voici pour T=0,88 h : [url]http://www.prise2tete.fr/upload/dylasse-marche.jpg[/url] oup ! le lecteur attentif aura corrigé de lui même : en X le Temps et Y les km[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : Un berger a 40 moutons, ils meurent tous sauf 18, combien en reste-t-il ? Retour Résumé de la discussion scarta 30-10-2009 08:54:43 Un homme doit parcourir 20 kilomètres, à pied (bon courage). Il avance à son rythme, des fois en pressant le pas, des fois il fait une pause, bref de manière complètement irrégulière. Il arrive au bout de son périple 5h plus tard, avec donc une moyenne de 4km/h. Existe-t'il une période continue d'une heure sur laquelle il aura parcouru exactement 4km ? Et plus généralement, pour tout réel T compris entre 0 et 5, existe-t'il une période de durée T en heure durant laquelle il aura marché 4T ? Bon courage Edit: Bonne réponse de tout le monde. Vasimolo donne quasiment la meme démo que celle que j'avais trouvé. Et au sujet dde ta question subsidiaire, lis la fin de l'énoncé Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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