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	Forum » Enigmes Mathématiques » Pile ou face ? Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=Milou_le_viking]Hello, Voici enfin la réponse bien attendue. :D Tout d'abord, je vous remercie tous pour votre active participation. Je regrette profondément que hlhnet n'ait pas participé à ce déni du 50-50. ;) Le débat quant à l'interprétation de l'énoncé n'apportait que deux possibilités : [quote=Mme Enigme]Je lance n pièces non truquées. Sachant que n-1 lancers donnent pile, quelle est la probabilité d'avoir une face ?[/quote] Soit n-1 [u]et seulement[/u] n-1 lancers donnaient pile et il y avait alors 100% de chance d'avoir une face, soit n-1 lancers donnaient pile et un lancers était indéterminé, ce qui revient à n-1 lancers au moins donnant pile. A mon sens, la seconde interprétation est la seule bonne. Dans la première, tout est déterminé et il n'y a pas de probabilité à évaluer. De plus, elle ne peut être juste que si "n-1 et seulement n-1" avait été énoncé, ce qui n'est pas le cas. Dans la seconde interprétation, le "au moins" est implicite. Mais admettons que ça reste discutable. Les deux solutions possibles étant 100% et n/(n+1) (démontré ci-dessous), tous ceux qui ont répondu 50% se sont trompés. [b]50% : 11 réponses n/(n+1) : 6 réponses 100% : 2 réponses[/b] Ensuite, je précise que la bonne réponse n'est pas la plus simple. 100% est la réponse la plus simple. De part l'indice que j'ai donné, la première interprétation de l'énoncé est donc définitivement à mettre de coté. Il reste au moins n-1 piles. Quelle est la probabilité d'avoir une face ? [u][b]Monstration :[/b][/u] PPPPPPPPPP : 1 possibilité d'avoir n Piles (notées 'P') OPPPPPPPPP POPPPPPPPP PPOPPPPPPP PPPOPPPPPP PPPPOPPPPP : n possibilités d'avoir n-1 Piles et une Face (notée 'O') PPPPPOPPPP PPPPPPOPPP PPPPPPPOPP PPPPPPPPOP PPPPPPPPPO Sur n+1 possibilités, n donnent une Face. La probabilité d'avoir une face = [latex] \frac{n}{n+1}[/latex] [u][b]Démonstration:[/b][/u] Soit p la probabilité d'avoir une face en un lancer. La probabilité d'avoir 0 face ou 1 face ou 2 faces ou 3 faces ou ... ou n faces : [latex]=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{(n-i)}=1[/latex] où [latex]\binom{n}{i}=\frac{n!}{i!(n-i)!}[/latex]= le nombre de possibilité d'avoir i faces. La probabilité d'avoir une Face (i=1) et n-1 Piles : [latex]=\binom{n}{1}p^{1}(1-p)^{(n-1)}[/latex] [latex]=\frac{n!}{1!(n-1)!}p^{1}(1-p)^{(n-1)}[/latex] [latex]=n.p^{1}(1-p)^{(n-1)}[/latex] La probabilité d'avoir au moins n-1 Piles ou la probabilité d'avoir soit 0 (i=0) soit 1 (i=1) Face : [latex]=\binom{n}{1}p^{1}(1-p)^{(n-1)}+\binom{n}{0}p^0(1-p)^{(n-0)}[/latex] [latex]=\frac{n!}{1!(n-1)!}p(1-p)^{(n-1)}+\frac{n!}{0!n!}(1-p)^{(n)}[/latex] [latex]=n.p(1-p)^{(n-1)}+(1-p)^{(n)}[/latex] On trouve alors la probabilité conditionnelle d'avoir une Face en ayant n-1 Piles : P (1 face si n-1 Piles) = [latex]\frac{P(1 Face)}{P((n-1) Piles)}=\frac{n.p(1-p)^{(n-1)}}{n.p(1-p)^{(n-1)}+(1-p)^{(n)}}[/latex] Comme les pièces ne sont pas truquées, p = (1-p) : P (1 face si n-1 Piles) = [latex]\frac{n}{n+1}[/latex] [b]CQFD[/b] :cool:[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez à la devinette suivante : Le père de toto a trois fils : Pif, Paf et ? Retour Résumé de la discussion Milou_le_viking 02-12-2009 09:46:40 Bonjour à tous, Voici ma troisième énigme. J'ai pas mal hésité avec une autre que j'ai mis pas mal de temps à composée mais qui est franchement pas simple. Celle-ci devrait connaitre plus de succès. Elle n'est pas de moi. Il s'agit d'un problème de probabilité qui avait beaucoup fait parler à l'époque. Mme Enigme a écrit: Je lance n pièces non truquées. Sachant que n-1 lancers donnent pile, quelle est la probabilité d'avoir une face ? Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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