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	Forum » Enigmes Mathématiques » Produits de carrés, la suite + INDICES Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=scarta]Bravo a gabrielduflot pour avoir trouvé quelques valeurs, et aussi pour avoir tenté de dérouler un peu les calculs. Des triplets comme ça, il y en a une infinité. On va maintenant prouver cette affirmation et, tant qu'on y est, fournir des formules pour les trouver. Comme indiqué en note dans le problème précédent ([url=http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=7380#p86182]petite remarque 2[/url]) [latex]s=x+y+z+2xyz-2\sqrt{(1+xy)(1+yz)(1+xz)}[/latex] devrait être nul si notre produit est un carré. [latex]x+y+z+2xyz=2\sqrt{(1+xy)(1+yz)(1+xz)}[/latex] On passe tout au carré, on simplifie et on trouve: [latex]x^2+y^2+z^2=2xy+2yz+2xz+4[/latex] On va ensuite poser x=a-r, y=a et z=a+r. On remplace, on simplifie et on a alors: [latex]3a^2=4r^2-4[/latex] De là, on en déduit que a est forcément pair, et on va poser a = 2a' [latex]r^2 -3a'^2 = 1[/latex] C'est là que ça se corse un peu. Ce type d'équation n'est pas très dur à résoudre, mais ça fait partie de ce qu'on n'apprend malheureusement pas à l'école... Bref, ça s'appelle une équation de Pell (ou de Pell-Fermat, dans la littérature française). Pour la résoudre avec des valeurs entières, on commence par trouver une paire de valeur qui marche, et on en déduit d'autres. Pour trouver des valeurs qui marchent, il y a plusieurs méthodes. Celle que je préfère est celle des fractions continues. Petit aparté: toute racine carré peut être approchée via une série de fractions continues.Par exemple [latex]\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{...}}}}}, \sqrt{3}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+...}}}}}}[/latex] Pour résoudre une équation de Pell, de la forme x²-D.y²=1, il faut tout d'abord trouver une solution initiale. Pour cela, on écrit le développement en fraction continues de [latex]\sqrt{D}[/latex], notées [latex]\frac{A_i}{B_i}[/latex]. On trouve (en général très vite) une valeur de i pour laquelle [latex]A_i^2-D.B_i^2=1[/latex] Partant de cette solution notée [latex](x_1, y_1)[/latex], on peut en déduire d'autres: [latex]x_k+y_k\sqrt{D} = (x_1+y_1\sqrt{D})^k[/latex] Ce qui signifie que dans la décomposition du terme de droite sous forme de binôme de Newton, les termes où la racine est avec une puissance paire sont additionnés pour donner une nouvelle valeur de x, et les autres pour donner une nouvelle valeur de y. Autrement dit, [latex]x_k-y_k\sqrt{D} = (x_1-y_1\sqrt{D})^k[/latex] En additionnant/soustrayant les deux, on a [latex] x_k = \frac{(x_1+y_1\sqrt{D})^k + (x_1-y_1\sqrt{D})^k}{2}\\ y_k = \frac{(x_1+y_1\sqrt{D})^k - (x_1-y_1\sqrt{D})^k}{2\sqrt{D}} [/latex] On applique tout ça à notre problème: on trouve rapidement que r=2 et a'=1 conviennent, et on trouve donc [latex] r_k = \frac{(2+\sqrt{3})^k + (2-\sqrt{3})^k}{2}\\ a_k = \frac{(2+\sqrt{3})^k - (2-\sqrt{3})^k}{\sqrt{3}}\\ [/latex] On peut aussi présenter ce résultat différemment (en déroulant les binômes de Newton et en retirant les termes qui s'annulent) [latex] a_{2k} = \sum_{j=0}^{k-1}C_{2k}^{2j+1}4^{k-j}3^j \\ r_{2k} = \sum_{j=0}^{k}C_{2k}^{2j}4^{k-j}3^j \\ \\ a_{2k+1} = 2\sum_{j=0}^{k}C_{2k+1}^{2j+1}4^{k-j}3^j \\ r_{2k+1} = 2\sum_{j=0}^{k}C_{2k+1}^{2j}4^{k-j}3^j [/latex] Vérifions nos formules en écrivant quelques termes. [latex]a_1 = 2, r_1 = 2, (0.2+1)(0.4+1)(2.4+1) = 9 = 3^2\\ a_2 = 8, r_2 = 7, (1.8+1)(1.15+1)(8.15+1) = 17424 = 132^2\\ a_3 = 30, r_3 = 26, (4.30+1)(4.56+1)(30.56+1) = 45765225 = 6765^2 \\ a_4 = 112, r_4 = 97, (15.112+1)(15.209+1)(112.209+1) = 123403258944 = 351288^2[/latex] Voilà. Pour la littérature: [url]http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_de_Pell-Fermat[/url] [url]http://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_continue[/url] [url]http://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_continue_d'un_nombre_quadratique[/url][/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez à la devinette suivante : Le père de toto a trois fils : Riri, Fifi et ? Retour Résumé de la discussion scarta 11-10-2010 09:08:11 Après ce problème difficile, un autre plus simple (en comparaison) Dans le problème sur les produits de carrés, franck9525 nous donne quelques exemples de valeurs qui marchent, entre autres: 1,8,15 Pour rappel, il fallait trouver des valeurs qui vérifient (xy+1)(yz+1)(xz+1) carré. Cet exemple est particulièrement intéressant: il s'agit d'une progression arithmétique! En effet, 1+7 = 8, 8+7 = 15 Voici d'autres exemples de progressions arithmétiques qui vérifient les conditions de carrés: (4,30,56) de raison 26; (15,112,209) de raison 97, ... On peut vérifier que (430+1)(456+1)(3056+1) = 6765^2 et (15112+1)(15+209+1)(209112+1) = 94095^2 Combien de triplets (x,y,z) en progression arithmétique pouvez-vous trouver ? Bonne chance Indice: Spoiler : [Afficher le message]* Gros indice: Spoiler : [Afficher le message] Partir sur un cas où s=0 Gros indice 2: Spoiler : [Afficher le message] Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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