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	Forum » Enigmes Mathématiques » Produits de carrés, la suite + INDICES Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=scarta]Pour aller encore plus loin, je viens de remarquer quelque chose d'intéressant. Il est clair que pour [latex]a_n[/latex] et [latex]r_n[/latex], on ne trouve aucune formule du type [latex]a_{n+1}=q.a_n[/latex] ou [latex]r_{n+1}=q.r_n[/latex] Par contre, en résolvant 2x+8y=30 et 8x+30y=112 d'une part, et 2x'+7y'=26 et 7x'+26y'=97 d'autre part, on peut remarquer que pour les premiers termes, les relations [latex]a_{n+1}=4.a_n-a_{n-1}[/latex] et [latex]r_{n+1}=4.r_n-r_{n-1}[/latex] se vérifient. Du coup, est-ce qu'on peut prouver ça? On part de nos formules détaillées précédemment. [latex] a_k = \frac{(2+\sqrt{3})^k - (2-\sqrt{3})^k}{\sqrt{3}}\\ r_k = \frac{(2+\sqrt{3})^k + (2-\sqrt{3})^k}{2}\\ [/latex] Tout d'abord, on remarque que [latex](2+\sqrt{3})^2 = 7+4\sqrt{3}[/latex] et [latex](2-\sqrt{3})^2 = 7-4\sqrt{3}[/latex] Allons-y. [latex] 4a_k-a{k-1} = 4\frac{(2+\sqrt{3})^k - (2-\sqrt{3})^k}{\sqrt{3}} - \frac{(2+\sqrt{3})^{k-1} - (2-\sqrt{3})^{k-1}}{\sqrt{3}}\\ = \frac{4(2+\sqrt{3})^k - (2+\sqrt{3})^{k-1} - (4(2-\sqrt{3})^k - (2-\sqrt{3})^{k-1})}{\sqrt{3}}\\ = \frac{(2+\sqrt{3})^{k-1} (7 +4\sqrt{3}) - ((2+\sqrt{3})^{k-1} (7 -4\sqrt{3}))}{\sqrt{3}}\\ = \frac{(2+\sqrt{3})^{k+1} - (2-\sqrt{3})^{k+1}}{\sqrt{3}} = a_{k+1} [/latex] et [latex] 4 r_k - r_{k-1} = 4\frac{(2+\sqrt{3})^k + (2-\sqrt{3})^k}{2}\\ - \frac{(2+\sqrt{3})^{k-1} + (2-\sqrt{3})^{k-1}}{2}\\ = \frac{4(2+\sqrt{3})^k - (2+\sqrt{3})^{k-1} + 4(2-\sqrt{3})^k-(2-\sqrt{3})^{k-1}}{2}\\ = \frac{(2+\sqrt{3})^{k-1}(7+4\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3})^{k-1}(7-4\sqrt{3})}{2}\\ = \frac{(2+\sqrt{3})^{k+1} + (2-\sqrt{3})^{k+1}}{2} = r_{k+1} [/latex] On peut donc répondre au problème de la manière suivante. Soient les suites A et R telles que > A0 = 2 > A1 = 8 > An+1 = 4An - An-1 > R0 = 2 > R1 = 7 > Rn+1 = 4Rn - Rn-1 On pose Xn = An-Rn, Yn = An et Zn = An+Rn; on a (Xn.Yn + 1)(Yn.Zn + 1)(Xn.Zn + 1) carré[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : Si il y a 78 pommes et que vous en prenez 43, combien en avez-vous ? Retour Résumé de la discussion scarta 11-10-2010 09:08:11 Après ce problème difficile, un autre plus simple (en comparaison) Dans le problème sur les produits de carrés, franck9525 nous donne quelques exemples de valeurs qui marchent, entre autres: 1,8,15 Pour rappel, il fallait trouver des valeurs qui vérifient (xy+1)(yz+1)(xz+1) carré. Cet exemple est particulièrement intéressant: il s'agit d'une progression arithmétique! En effet, 1+7 = 8, 8+7 = 15 Voici d'autres exemples de progressions arithmétiques qui vérifient les conditions de carrés: (4,30,56) de raison 26; (15,112,209) de raison 97, ... On peut vérifier que (430+1)(456+1)(3056+1) = 6765^2 et (15112+1)(15+209+1)(209112+1) = 94095^2 Combien de triplets (x,y,z) en progression arithmétique pouvez-vous trouver ? Bonne chance Indice: Spoiler : [Afficher le message]* Gros indice: Spoiler : [Afficher le message] Partir sur un cas où s=0 Gros indice 2: Spoiler : [Afficher le message] Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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