Soit [latex]\alpha \in \mathbb{N}^*[/latex] premier, on définit la fonction [latex]f_\alpha : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}[/latex] comme étant la fonction suivante:
[TeX]f_\alpha : x \rightarrow y[/latex] tel que [latex]x!=z.\alpha^y[/latex] avec [latex]z \in \mathbb{N}\ tq\ z % \alpha \ne 0[/TeX]
Dit en français de manière plus simple, ça signifie: si je décompose les entiers de 2 à x en facteurs premiers, [latex]f_\alpha(x)[/latex] est la somme des exposants de [latex]\alpha[/latex].

Vous pouvez vous amusez à le montrer, mais bon ce n'est pas le problème pour l'instant. En réalité, j'ai construit cette fonction sur mesure pour qu'elle soit égale à ça.

Le problème est le suivant:
Il me semble (ie. je n'ai pas encore fini la démonstration moi-même, mais pour l'instant toujours vérifié) que:
[TeX]\forall n \in \mathbb{N}\\
\forall A,B \in \mathbb{N}\ tq\ A+B = \alpha^n-1[/TeX]
on a:
[TeX]f_\alpha^(\alpha^n-1) = f_\alpha(A) + f_\alpha(B)[/TeX]
Le but est bien entendu de démontrer cette propriété (ou son contraire, le contre-exemple étant bien évidemment une démonstration acceptée).

Il s'agit en fait d'une généralisation de ce problème (avec alpha=2)