Ok voilà donc la démonstration
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Etape 1: Définition et étude d'une fonction g
Etape 1.1: Définiton de g
On définit la fonction [latex]g_\alpha(x) = y[/latex] avec [latex]x = z.\alpha^y, z \in \mathbb{N}\ tq\ z%\alpha \ne 0[/latex]
Autrement dit, si je décompose x en facteurs premiers, j'ai y la valeur de l'exposant devant [latex]\alpha[/latex]
Etape 1.2: Simplification de f en utilisant g
En posant
[TeX]
g_\alpha(x+1) = y_2\\
f_\alpha(x+1) = y_1\\
f_\alpha(x) = y_0
[/TeX]
on a:
[TeX]\exists z_2, z_1, z_0 \in \mathbb{N} \ tq\\
z_2%\alpha \ne 0,\\
z_1%\alpha \ne 0,\\
z_0%\alpha \ne 0\\
\\
x+1 = z_2.\alpha^{y_2}\\
x! = z_0.\alpha^{y_0}\\
(x+1)! = z_1.\alpha^{y_1}\\
z_1.\alpha^{y_1} = (x+1).x! = (x+1).z_0.\alpha^{y_0}\\
z_1.\alpha^{y_1} = z_2.z_0.\alpha^{y_0}.\alpha^{y_2}
[/TeX]
On en déduit de la que [latex]y_0+y_2=y_1[/latex]
Autrement dit:
[TeX]f_\alpha(x+1) = f_\alpha(x)+g_\alpha(x+1)[/TeX]
ou plus généralement
[TeX]f_\alpha(x+m) = f_\alpha(x)+\sum_{i=1}^{m}g_\alpha(x+i)[/TeX]
On a aussi les deux formules équivalentes:
[TeX]f_\alpha(x-1) = f_\alpha(x)-g_\alpha(x)\\
f_\alpha(x-m) = f_\alpha(x)-\sum_{i=1}^{m}g_\alpha(x-i+1)[/TeX]
Fin de l'étape 1
On se retrouve avec deux super formules qui vous nous être très utiles.
Etape 2: Résolution du problème
Etape 2.1: Introduction de g
On repart de notre énoncé.
Etape 2.1.1: Cas particulier
Pour [latex]A=0[/latex] et [latex]B=\alpha^n-1[/latex], le cas est trivial, vu que [latex]f_\alpha(0)=0[/latex]
Etape 2.1.2: Cas général
Pour A et B quelconques cette fois (vérifiant bien sûr leur propriété sur leur somme), on a: [latex]A = 0+A[/latex] et [latex]B = \alpha^n-1-A[/latex]
Donc
[TeX]f_\alpha(A) + f_\alpha(B)=\\
f_\alpha(0) + f_\alpha(\alpha^n-1) +\sum_{i=1}^{A}g_\alpha(i)
-\sum_{i=1}^{A}g_\alpha(\alpha^n-1-i+1)
[/TeX]
Il nous faut donc montrer que
[TeX]\sum_{i=1}^{A}g_\alpha(i) -\sum_{i=1}^{A}g_\alpha(\alpha^n-i) = 0[/TeX]
Etape 2.2: Calcul de la différence
Là ça tombe vachement bien: ce ne sont pas les sommes qui s'annulent mais directement les termes 2 à 2 !
La preuve:
Etape 2.2.1: Cas trivial
[TeX]
i%\alpha \ne 0\\
\Rightarrow (\alpha^n-i)%\alpha \ne 0\\
[/TeX]
Dans ce cas:
[TeX]
\Rightarrow g_\alpha(i) = g_\alpha(\alpha^n-i) = 0
[/TeX]
Etape 2.2.2: Autres cas, par récurrence
[TeX]
i%\alpha = 0 \Leftrightarrow (\alpha^n-i)%\alpha = 0\\
[/TeX]
On va alors faire une récurrence
Si [latex]\exists J < n-1, i%(\alpha^J) = (\alpha^n-i)%(\alpha^J) = 0[/latex]
alors [latex]i%(\alpha^{J+1}) = 0 \Leftrightarrow (\alpha^n-i)%(\alpha^{J+1})=0[/latex]
Allez, on y va. Dans un sens
[TeX]
i%(\alpha^{J+1}) = 0\\
\Rightarrow i=k.\alpha^{J+1}\\
\Rightarrow \alpha^n-i = \alpha^{J+1}.(\alpha^{n-J-1}-k)\\
\Rightarrow (\alpha^n-i)%(\alpha^{J+1}) = 0
[/TeX]
Et dans l'autre, par contraposée:
[TeX]
i%(\alpha^{J}) = 0\\
i%(\alpha^{J+1}) \ne 0\\
\Rightarrow i=k.\alpha^{J}, k%\alpha \ne 0\\
\Rightarrow \alpha^n-i = \alpha^{J}.(\alpha^{n-J}-k)\\
k%\alpha \ne 0 \Rightarrow (\alpha^{n-J}-k)%\alpha \ne 0\\
\Rightarrow (\alpha^n-i)%(\alpha^{J+1}) \ne 0
[/TeX]
CQFD.
Etape 2.3: Conclusion
On résume: la plus petite puissance de [latex]\alpha[/latex] qui ne divise pas i ne divise pas non plus [latex]\alpha^n-i[/latex], donc la plus grande puissance de [latex]\alpha[/latex] qui divise i est aussi la plus grande puissance de [latex]\alpha[/latex] qui divise [latex]\alpha^n-i[/latex].
Par construction donc [latex]g_\alpha(i) = g_\alpha(\alpha^n-i)[/latex]
Donc [latex]\sum_{i=1}^{A}g_\alpha(i) -\sum_{i=1}^{A}g_\alpha(\alpha^n-i) = 0[/latex]
Et donc enfin:
[TeX]f_\alpha(A) + f_\alpha(B)=f_\alpha(0) + f_\alpha(\alpha^n-1) = f_\alpha(\alpha^n-1)[/TeX]
Ouf ca y est, on a gagné !
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