De but en blanc, je dirais $\mathbf{1}_{\mathbb{D}}$ qui est la fonction indicatrice sur les nombres décimales. Elle vaut 1 quand x est un nombre décimal et 0 partout...

Ah oui, bijection... C'est corsé d'un seul coup !

Une autre proposition. Soit $x \in \mathbb{R}$, je note $x_{\mathbb{D}}$ le nombre décimal le plus proche de $x$.

Soit $\varepsilon \in \mathbb{R}$ strictement positif, je définis tout d'abord la fonction $f$ sur tous les nombres décimaux : $f(x) = x+\varepsilon$

Ensuite si $x$ est un réel compris entre deux décimaux (je rappelle que $\mathbb{D}$ est dense dans $\mathbb{R}$) alors je définis $f$ en $x$ par : $f(x) = f(x_{\mathbb{D}}) + x = x_{\mathbb{D}} + \varepsilon + x$.

Alors $f$ serait continue sur les nombres réels non décimaux et les sauts se feront sur les nombres décimaux. Par contre, pas sûr qu'elle soit bijective (après mûres rélexions)

Bon, c'est juste une rapide rédaction de mes idées et ça doit être peu clair pour le correcteur...

clement.boulonne : attention le nombre décimale le plus proche d'un nombre non décimale n'existe pas ! Quel que soit celui proposé on peut en trouver un plus proche en lui rajoutant des chiffres à la fin.

esereth :
$f(x) = 1-x$ si $x$ est décimal et
$f(x) = x$ sinon.

C'est déjà pas mal pour la bijection, par contre effectivement la fonction n'est continue nulle part (sauf en 1/2 quand 1-x=x)

Spoiler : [Afficher le message] Si la fonction fait des sauts au niveau des nombres décimaux, ces sauts doivent être de plus en plus petit "en se rapprochant des nombres non décimaux" pour assurer la continuité.

Bonjour,
J'ai mal à la tête, mais je n'ai pas la solution:
Frank

Va falloir que je révise mes notions de Topologie : le CAPES approche !!

Voilà l'heure de la solution, et personne n'a trouvé de fonction continue en dehors des nombres décimaux
Esereth et Yanyan on trouvé des bijection discontinue partout (quoi que pour Yanyan cela dépend peut être du dénombrement )

Vous allez voir que je ne me suis pas moqué de vous avec la "semi continuité"

Un petit schéma s'impose pour bien expliquer comment il faut prendre le problème :

Être continue en a c'est avoir toutes les valeurs autour de f(a) aussi proche de f(a) que l'on veut, pourvue d'être assez proche de a au départ.

Or la fonction est discontinue (elle saute) en tout nombre décimal et il y a une infinité de ces nombres entre chaque nombre réel

Conséquence -> Les sauts autours d'un nombres non décimal sont aussi petit que l'on veut pourvu de se rapprocher suffisamment de ce nombre.

Et là, tada! Qu'est ce qu'il ont de particulier les nombres décimaux qui se rapproches d'un nombre non décimal ? ils ont de plus en plus de chiffres!

Déduction -> plus il y a de chiffres à un nombre décimal plus le saut doit être petit

Après il y a plein de manière d'obtenir ça, j'en ai trouvé deux autres pendant la durée de l'énigme.

possibilité 1: On permute deux à deux les chiffres
C'est pas sorcier, une chèvre saurait le faire f(3.141592)=30.415129
J'en dit pas plus je vais faire une nouvelle énigme avec.
http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=9607

possibilité 2: On duplique tous les chiffres du nombre à la fin
ou on en enlève la moitier si le nombre est déjà "dupliqué"
f(3.14) = 3.14314
f(265.4726547) = 265.47
Bien sûr f(x) = x si x n'est pas décimal

possibilité 3 : Même principe
sauf qu'on duplique seulement le dernier chiffre différent de 0 à droite, ou on le  supprime si il est en double:
f(3.14)=3.144
f(325)=325.5
f(3.33)=3.3
f(22)=20

A chaque fois la discontinuité recule de plus en plus loin dans les chiffres en se rapprochant des non décimaux -> les sauts sont se plus en plus petits. Voilà

Moi même ma réponse je ne la comprends pas alors...

... qui n'est pas un décimal :-)

Il y a un exemple très connu de fonction réelle à valeurs réelles continue sur $\mathbb{R}-\mathbb{Q}^*$ et discontinue sur $\mathbb{Q}^*$ mais je ne sais pas si on peu l'adapter aux décimaux et en plus l'application n'est pas bijective !!!

Vasimolo

rivas a écrit:

Si on prend:
f(x)=x pour x irrationnel
f(x)=0 pour x rationnel, on a bien une telle fonction.

Une telle fonction ne me semble continue qu'en 0

Vasimolo

J'aurais voulu répondre plus tôt mais mon pare-feu s'est amusé à bloquer mon accès à prise2tete


La première fonction (proposition 1) est décrite plus en détail dans ma nouvelle énigme. Pour une description formelle :
Définition :
Si on écrit $x=\sum_{j=-\infty}^{+\infty}{x_j10^j}$

alors $f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty}{x_{2i+1}10^{2i}+x_{2i}10^{2i+1}}$

Voilà pour la définition rigoureuse. Je n'irais pas plus loin pour cette fonction,  je ne veut ne pas spoiler ma nouvelle énigme.




Je vais étudier la fonction de la proposition 3 :

Appelons g cette fonction,
Définition :
Si $x=\sum_{j=a}^{b}{x_j10^j}$ où $x_a \neq 0 et x_b \neq 0$
Alors
1) si $a=-\infty$ (nombre non décimal) g(x)=x
2) sinon si $x_a \neq x_{a-1}$ alors $g(x) = x + x_a10^{a-1}$
3) sinon $x_a = x_{a-1}$ alors $g(x) = x - x_a10^a$



g n'est pas bijective je me suis trompé (mais f est bien bijective)
En effet g(1)=g(1,11)=1,1


Bon, comme c'est sur la continuité que cette fonction est intéressante, concentrons nous dessus :



1) Soit $x$un nombre décimal :
$$x=\sum_{j=a}^{b}{x_j10^j}$$
Considérons la suite $u_i=x-10^a+\sum_{j=a-i}^{a-1}{9*10^j}$
Ecrit en écriture décimal $u_i = x_bx_{b-1}...x_{a+2}x_{a+1}(x_a-1)99...999$ (avec i fois le chiffre 9 à la fin)
$$g(u_i)=u_{i-1}[/latex] car g enlève le dernier chiffre quand il se répète. Or [latex]lim\ u_i = x[/latex] donc [latex]lim\ g(u_i)= lim\ u_{i-1} = x$$
mais $g(x) \neq x$ donc g n'est pas continue en x


2) Soit $x$un nombre NON décimal :

lemme : Pour tout réel  $x'$,    $|g(x)-x|\ <\ 10^{n+2}$ si $x_n \neq 0$ (reprendre l'expression formelle de la fonction, majorer $x_a$ par 10)
fin du lemme


Soit $\epsilon >0$
Soit maintenant $m$ tel que  $\epsilon >10^m$ et tel que $x_{m-3} \neq 0$ <- c'est là que ça diffère des décimaux
alors quel que soit $x' \in ]x-10^{m-3},\ x+10^{m-3}[$ 
on a $|g(x')-x'|<10^{m-1}$ (lemme)
d'où $|g(x')-x| \ < \ |g(x')-x'|+|x' - x| \ <\ 10^{m-1}+10^{m-3}\ <\ 10^m$
or g(x) = x
finalement $|g(x')-g(x)| \ < \ \epsilon$
donc g est continue en x

Pffiu ! Voilà c'est fini.
Je préfère être vague quand même ça prend moins de temps

SVP répondez moi si vous avez compris, j'aimerais avoir des retours.

Un exemple encore plus simple de bijection $f$ continue sur $\mathbb{R}-\mathbb{D}$ et discontinue sur $\mathbb{D}$ .

On écrit chaque nombre réel avec une infinité de chiffres après la virgule ( des 0 à la fin pour les décimaux ) et on considère la fonction $f$ qui après la virgule change tous les 0 en 9 et tous les 9 en 0 .

Mais $f$ n'est pas involutive ( $f\circ f \neq Id$ ) .

Vasimolo