En faisant un changement de variable : $X = sin x$
$$\lim\limits_{X \to 1}\frac{(1-X)(1-X^2)...(1-X^n)}{(1-X^2)^{n}}$$
On factorise le numérateur et le dénominateur par $(1-X)^{n}$
$$\lim\limits_{X \to 1}\frac{(1-X)^{n}(1+X)(1+X+X^2)...(1+X+X^2+...+X^{n-1})}{(1-X)^{n}(1+X)^{n}}$$
On obtient :
$$\lim\limits_{X \to 1}\frac{(1+X)(1+X+X^2)...(1+X+X^2+...+X^{n-1})}{(1+X)^{n}}=\frac{n!}{2^n}$$

Si je me suis pas planté je dirais que la limite est $\frac{n!}{2^n}$ :
$$\frac{(1-\sin{x})(1-\sin^2{x})\ldots (1-\sin^n{x})}{\cos^{2n}{x}} =  \frac{(1-\sin{x})(1-\sin^2{x})\ldots (1-\sin^n{x})}{(1- \sin^{2}{x})^n} = \prod_{i=1}^n \frac{1-\sin^i x}{1-\sin^2 x} = \prod_{i=1}^n \frac{(1-\sin x)(1+sin x +\ldots + sin^{i-1} x)}{(1-\sin x)(1+\sin x)}$$
$$= \prod_{i=1}^n \frac{1+sin x +\ldots + sin^{i-1} x}{1+\sin x} \maps_{x\maps \frac{\pi}{2}} \qquad \prod_{i=1}^n \frac{i}{2} \qquad$$
$$=\qquad \frac{n!}{2^n}$$
EDIT MthS-MlndN : merci d'utiliser la prévisualisation pour les grandes formules et, si elles débordent, de les scinder en plusieurs blocs.

Merci beaucoup , emaths , EfCeBa , scrablor , Nicouj et dylasse la réponse est :  $\frac{n!}{2^n}$