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 #1 - 24-08-2009 22:06:04

salehseghiri
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 40

Lmiite d'une fonction

[TeX]\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{(1-sin x)(1-sin^2x)...(1-sin^nx)}{cos^{2n}x}[/TeX]
Edit EfCeBa : réécriture LaTeX de ça.

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 #2 - 24-08-2009 23:53:31

emaths
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 9

Limtie d'une fonction

[TeX]\frac{(1-sin x)(1-sin^2x)\cdots(1-sin^nx)}{cos^{2n}x}[/TeX][TeX]=\frac{(1-sin x)(1-sin^2x)\cdots(1-sin^nx)}{(1-sin^2x)^n}[/TeX]
En posant [latex]X=sin x[/latex] on se ramène à calculer la limite en 1 de
[TeX]\frac{(1-X)(1-X^2)\dots(1-X^n)}{(1-X^2)^n}[/TeX]
[TeX] = \frac{(1-X)^n(1+X)(1+X+X^2)\cdots(1+X+X^2+\cdots +X^{n-1})}{(1-X)^n(1+X)^n}[/TeX]
[TeX]= \frac{(1+X)(1+X+X^2)\cdots(1+X+X^2+\cdots +X^{n-1})}{(1+X)^n}[/TeX]
Donc la réponse est [latex]\frac{n!}{2^n}[/latex].

 #3 - 25-08-2009 15:34:30

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 11×569

Limite d'une fonctionn

En faisant un changement de variable : [latex]X = sin x[/latex]
[TeX]\lim\limits_{X \to 1}\frac{(1-X)(1-X^2)...(1-X^n)}{(1-X^2)^{n}}[/TeX]
On factorise le numérateur et le dénominateur par [latex](1-X)^{n}[/latex]
[TeX]\lim\limits_{X \to 1}\frac{(1-X)^{n}(1+X)(1+X+X^2)...(1+X+X^2+...+X^{n-1})}{(1-X)^{n}(1+X)^{n}}[/TeX]
On obtient :
[TeX]\lim\limits_{X \to 1}\frac{(1+X)(1+X+X^2)...(1+X+X^2+...+X^{n-1})}{(1+X)^{n}}=\frac{n!}{2^n}[/TeX]

 #4 - 25-08-2009 16:26:54

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 965

limite d'une finction

Grâce à quelques factorisations :
[TeX]cos^2x = 1-sin^2x = (1-sin x)(1+sin x)[/TeX][TeX]1-sin^kx = (1-sin x)(1+sin x + ... + sin^{k-1}x)[/TeX]
on peut simplifier et la limite n'est plus indéterminée :
[TeX]\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1(1+sin x)...(1+...+sin^{n-1}x)}{(1+sin x)^n} = \frac{n!}{2^n}[/TeX]

Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #5 - 26-08-2009 14:03:08

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

limite d'une fonctiin

Si je me suis pas planté je dirais que la limite est [latex]\frac{n!}{2^n}[/latex] :
[TeX]\frac{(1-\sin{x})(1-\sin^2{x})\ldots (1-\sin^n{x})}{\cos^{2n}{x}} =  \frac{(1-\sin{x})(1-\sin^2{x})\ldots (1-\sin^n{x})}{(1- \sin^{2}{x})^n} = \prod_{i=1}^n \frac{1-\sin^i x}{1-\sin^2 x} = \prod_{i=1}^n \frac{(1-\sin x)(1+sin x +\ldots + sin^{i-1} x)}{(1-\sin x)(1+\sin x)}[/TeX]
[TeX]= \prod_{i=1}^n \frac{1+sin x +\ldots + sin^{i-1} x}{1+\sin x} \maps_{x\maps \frac{\pi}{2}} \qquad \prod_{i=1}^n \frac{i}{2} \qquad[/TeX]
[TeX]=\qquad \frac{n!}{2^n}[/TeX]
EDIT MthS-MlndN : merci d'utiliser la prévisualisation pour les grandes formules et, si elles débordent, de les scinder en plusieurs blocs.

 #6 - 27-08-2009 01:08:53

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 378

Limite d'une fontcion

Le numérateur se factorise en (1- sin(x))^n (1x(1+sin(x))x(1+sin(x)+sin(x)^2)x
...x(1+sin(x)+sin(x)^2+...+sin(x)^n))

Le dénominateur s'écrit : (1-sin(x))^n (1+sin(x))^n.

Après simplification par (1- sin(x))^n, la limite cherchée est : n!/(2^n).

rem : promis, la prochaine fois j'essaie LaTeX !

 #7 - 11-02-2014 00:47:38

salehseghiri
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 40

Limite d'un fonction

Merci beaucoup , emaths , EfCeBa , scrablor , Nicouj et dylasse la réponse est :  [latex]\frac{n!}{2^n} [/latex]

 

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