Saurez-vous trouver... ?
réponse : non

déjà trivialement les fonctions constantes 0 et 1.

C'est un début :S

Sinon je vois que : f(floor(x) * y) = f(n*x) * floor(f(y/n)) pour tout n >= 1

si j ai compris

f(y)=f([1]y)=f(1)[f(y)]

f([0]y)=f(o)[f(y)]=f(0)
soit f(0)=0 soit [f (y)]=1

si [(f(y)]=1 => f(y)=f(1) constante


f([1]1)=f(1)[f(1)]= f(1)

soit f(1)= 0 soit [f(1)]=1

conclusion si f(1)=0 =>f(y)=0

sinon f(y)=constante =1

@ Nicouj : un bon début...

@Toni et Looping : Bravo les mecthématiciens... Impec!

@debutant : tu as pleins d'ingrédients mais ton raisonnement a des trous :
et si on est dans le cas f(0)=0 ?

Sauf erreurs seules certaines fonctions constantes conviennent .

Supposons d'abord qu'il existe $a$ tel que $f(a)\notin[1;2[\cup \{0\}$ ( ie: $f(a)\neq0$ et $\lfloor f(a) \rfloor \neq 1$ ) alors :

$f(0)=f(\lfloor 0 \rfloor a ) = f(0)\lfloor f(a) \rfloor$ donc $f(0)=0$ .

Alors pour tout $x$ dans $[0;1[$ :

$0=f(0)=f(\lfloor x\rfloor a)=f(x)\lfloor f(a) \rfloor$ donc $f(x)=0$ , $f$ est nulle sur $[0;1[$ .

Maintenant si $x$ est positif :

$f(x)=f(\lfloor x+1 \rfloor \frac{x}{\lfloor x+1 \rfloor})=f(\lfloor x+1 \rfloor)\lfloor f(\frac{x}{\lfloor x+1 \rfloor})\rfloor = 0$ .

$f(-x)=f(\lfloor -1 \rfloor x)=f(-1)\lfloor f(x)\rfloor = 0$ .

$f$ est donc identiquement nulle , il reste à étudier le cas ou $f$ prend toutes ses valeurs dans $[1;2[\cup\{0\}$ .

Pour $x = 1$ l'égalité initiale devient :$f(y)=f(1)\lfloor f(y) \rfloor$ , c'est à dire que $f(y)=f(1)$ ou $f(y)=0$ , $f$ est constante . Il reste à vérifier que toute fonction constante à valeur dans $[1;2[\cup \{0\}$ convient , ce qui est évident .

Amusant

Vasimolo

Bah, le plus rapide a quand même été Kosmogol... qui a répondu "Non" à la question "Saurez-vous trouver..."

kosmogol a écrit:

merci gasole lol

... et il en est fier en plus ...

Donc :
- pour x>=0 : f(xy)=f(x)E(f(y))=f(-x)E(f(y)) d'où pour tout x, f est symétrique (pour tout x, f(x)=f(-x) ou f(x)=0).
- pour x=0 : f(0)=f(0)E(f(y)) donc f(0)=0 ou pour tout x, E(f(x))=1, soit f(x)=1 ou -1.
- pour x=1 : f(y)=f(1)E(f(y)) donc pour tout x, f(x)=0 ou f(1)=1 ou -1

Toutes les fonctions suivantes :
- f(x)=0
- f(x)=1 (avec ou sans f(0)=0)
- f(x)=-1 (avec ou sans f(0)=0)

Je maintiens qu'elles sont symétriques (??).
Par contre je ne sais pas s'il existe d'autres fonctions qui conviennent telles que pour tout x, f(x)=1 ou -1.
Et je ne sais pas s'il existe d'autres fonctions telles que f(0)=0...

ZUT, j'ai fini par lire "valeur absolue" au lieu de "valeur entière plancher" !!!

2 fonctions sont possibles : la fonction nulle ou la fonction identiquement égale à 1.

* La relation fonctionnelle appliquée à x=1 et y=1 donne f(1)=f(1)[f(1)] donc f(1)=0 ou 1=[f(1)]

** si f(1)=0 la relation pour x=1 et y quelconque montre f(y)=f(1)[f(y)]=0 donc f identiquement nulle

** si f(1)<>0, nécessairement 1=[f(1)].

- En conséquence, pour tout x, f([x])=f(x)[f(1)]=f(x) donc f est constante sur tout intervalle de la forme [n,n+1[ avec n entier.
- f(0)=f(0)[f(0)] avec f(0)<>0 donc [f(0)]=1.
- Pour tout n<>0, on a aussi f(1)=f(n)[f(1/n)]=f(n)[f(0)]. Ainsi f(n)=1.
- Pour n=0 : f(0)=f(1)[f(0)] donc f(0)=[f(0)]=1.

Pour tout entier n, f(n)=1 et comme f constante sur [n,n+1[, f est identiquement égale à 1.

Edit après la remarque de Gasole : Ligne 9, on a f(0)<>0 car 0<>f(1)=f([2]*1/2)=f(2)*[f(1/2)] donc [f(1/2)]=[f(0)]<>0 donc f(0)<>0)

Je note [y] la partie entière de y.
Si f est identiquement nulle, elle vérifie l'équation.

Soit f vérifiant l'équation et non identiquement nulle.

Pour tout x réel, on a: f(x)=f(1.x)=f(1).[f(x)]
Donc f(1) est non nul (sinon contradiction avec f non identiquement nulle).

On a:
f(1)=f(1).[f(1)].
On en déduit que [f(1)]=1.

Pour tout x réel, on a:
f([x])=f(x).[f(1)]=f(x).

On a:
f(1)=f(2.(1/2))=f(2).[f(1/2)]=f(2).[f(0)]
On en déduit que f(0) est non nul.

Soit x réel, on a:
f(0)=f(0.x)=f(0).[f(x)]
Donc [f(x)]=1.
Donc f(x)=f(1.x)=f(1).[f(x)]=f(1)

Donc f est constante et sa constante est dans l'intervalle [1, 2[.


Réciproquement une telle fonction vérifie l'équation.

Pourrais tu fournir le paracetamol à chacune de tes interventions ?

@gasole:
Si on suppose f(1)=0, alors on a:
pour tout x réel, f(x)=f(1).[f(x)]=0
Donc: "f(1)=0" => "f est identiquement nulle"

Je ne vois pas où est l'erreur dans mon raisonnement.