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Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=scarta]Ok voilà donc la démonstration [spoiler] [u][b]Etape 1:[/b] Définition et étude d'une fonction g[/u] [b]Etape 1.1:[/b] Définiton de g On définit la fonction [latex]g_\alpha(x) = y[/latex] avec [latex]x = z.\alpha^y, z \in \mathbb{N}\ tq\ z%\alpha \ne 0[/latex] Autrement dit, si je décompose x en facteurs premiers, j'ai y la valeur de l'exposant devant [latex]\alpha[/latex] [b]Etape 1.2:[/b] Simplification de f en utilisant g En posant [latex] g_\alpha(x+1) = y_2\\ f_\alpha(x+1) = y_1\\ f_\alpha(x) = y_0 [/latex] on a: [latex]\exists z_2, z_1, z_0 \in \mathbb{N} \ tq\\ z_2%\alpha \ne 0,\\ z_1%\alpha \ne 0,\\ z_0%\alpha \ne 0\\ \\ x+1 = z_2.\alpha^{y_2}\\ x! = z_0.\alpha^{y_0}\\ (x+1)! = z_1.\alpha^{y_1}\\ z_1.\alpha^{y_1} = (x+1).x! = (x+1).z_0.\alpha^{y_0}\\ z_1.\alpha^{y_1} = z_2.z_0.\alpha^{y_0}.\alpha^{y_2} [/latex] On en déduit de la que [latex]y_0+y_2=y_1[/latex] Autrement dit: [latex]f_\alpha(x+1) = f_\alpha(x)+g_\alpha(x+1)[/latex] ou plus généralement [latex]f_\alpha(x+m) = f_\alpha(x)+\sum_{i=1}^{m}g_\alpha(x+i)[/latex] On a aussi les deux formules équivalentes: [latex]f_\alpha(x-1) = f_\alpha(x)-g_\alpha(x)\\ f_\alpha(x-m) = f_\alpha(x)-\sum_{i=1}^{m}g_\alpha(x-i+1)[/latex] [u]Fin de l'étape 1[/u] On se retrouve avec deux super formules qui vous nous être très utiles. [u][b]Etape 2:[/b] Résolution du problème[/u] [b]Etape 2.1:[/b] Introduction de g On repart de notre énoncé. [u]Etape 2.1.1: Cas particulier[/u] Pour [latex]A=0[/latex] et [latex]B=\alpha^n-1[/latex], le cas est trivial, vu que [latex]f_\alpha(0)=0[/latex] [u]Etape 2.1.2: Cas général[/u] Pour A et B quelconques cette fois (vérifiant bien sûr leur propriété sur leur somme), on a: [latex]A = 0+A[/latex] et [latex]B = \alpha^n-1-A[/latex] Donc [latex]f_\alpha(A) + f_\alpha(B)=\\ f_\alpha(0) + f_\alpha(\alpha^n-1) +\sum_{i=1}^{A}g_\alpha(i) -\sum_{i=1}^{A}g_\alpha(\alpha^n-1-i+1) [/latex] Il nous faut donc montrer que [latex]\sum_{i=1}^{A}g_\alpha(i) -\sum_{i=1}^{A}g_\alpha(\alpha^n-i) = 0[/latex] [b]Etape 2.2:[/b] Calcul de la différence Là ça tombe vachement bien: ce ne sont pas les sommes qui s'annulent mais directement les termes 2 à 2 ! La preuve: [u]Etape 2.2.1: Cas trivial[/u] [latex] i%\alpha \ne 0\\ \Rightarrow (\alpha^n-i)%\alpha \ne 0\\ [/latex] Dans ce cas: [latex] \Rightarrow g_\alpha(i) = g_\alpha(\alpha^n-i) = 0 [/latex] [u]Etape 2.2.2: Autres cas, par récurrence[/u] [latex] i%\alpha = 0 \Leftrightarrow (\alpha^n-i)%\alpha = 0\\ [/latex] On va alors faire une récurrence Si [latex]\exists J < n-1, i%(\alpha^J) = (\alpha^n-i)%(\alpha^J) = 0[/latex] alors [latex]i%(\alpha^{J+1}) = 0 \Leftrightarrow (\alpha^n-i)%(\alpha^{J+1})=0[/latex] Allez, on y va. Dans un sens [latex] i%(\alpha^{J+1}) = 0\\ \Rightarrow i=k.\alpha^{J+1}\\ \Rightarrow \alpha^n-i = \alpha^{J+1}.(\alpha^{n-J-1}-k)\\ \Rightarrow (\alpha^n-i)%(\alpha^{J+1}) = 0 [/latex] Et dans l'autre, par contraposée: [latex] i%(\alpha^{J}) = 0\\ i%(\alpha^{J+1}) \ne 0\\ \Rightarrow i=k.\alpha^{J}, k%\alpha \ne 0\\ \Rightarrow \alpha^n-i = \alpha^{J}.(\alpha^{n-J}-k)\\ k%\alpha \ne 0 \Rightarrow (\alpha^{n-J}-k)%\alpha \ne 0\\ \Rightarrow (\alpha^n-i)%(\alpha^{J+1}) \ne 0 [/latex] CQFD. [b]Etape 2.3:[/b] Conclusion On résume: la plus petite puissance de [latex]\alpha[/latex] qui ne divise pas i ne divise pas non plus [latex]\alpha^n-i[/latex], donc la plus grande puissance de [latex]\alpha[/latex] qui divise i est aussi la plus grande puissance de [latex]\alpha[/latex] qui divise [latex]\alpha^n-i[/latex]. Par construction donc [latex]g_\alpha(i) = g_\alpha(\alpha^n-i)[/latex] Donc [latex]\sum_{i=1}^{A}g_\alpha(i) -\sum_{i=1}^{A}g_\alpha(\alpha^n-i) = 0[/latex] Et donc enfin: [latex]f_\alpha(A) + f_\alpha(B)=f_\alpha(0) + f_\alpha(\alpha^n-1) = f_\alpha(\alpha^n-1)[/latex] Ouf ca y est, on a gagné ! [/spoiler][/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : Si il y a 51 pommes et que vous en prenez 24, combien en avez-vous ? Retour Résumé de la discussion scarta 13-05-2008 21:21:33 Soit $\alpha \in \mathbb{N}^*$ premier, on définit la fonction $f_\alpha : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ comme étant la fonction suivante: $f_\alpha : x \rightarrow y[/latex] tel que [latex]x!=z.\alpha^y[/latex] avec [latex]z \in \mathbb{N}\ tq\ z % \alpha \ne 0$ Dit en français de manière plus simple, ça signifie: si je décompose les entiers de 2 à x en facteurs premiers, $f_\alpha(x)$ est la somme des exposants de $\alpha$ . Vous pouvez vous amusez à le montrer, mais bon ce n'est pas le problème pour l'instant. En réalité, j'ai construit cette fonction sur mesure pour qu'elle soit égale à ça. Le problème est le suivant: Il me (ie. je n'ai pas encore fini la démonstration moi-même, mais pour l'instant toujours vérifié) que: $\forall n \in \mathbb{N}\\ \forall A,B \in \mathbb{N}\ tq\ A+B = \alpha^n-1$ on a: $f_\alpha^(\alpha^n-1) = f_\alpha(A) + f_\alpha(B)$ Le but est bien entendu de démontrer cette propriété (ou son contraire, le contre-exemple étant bien évidemment une démonstration acceptée). Il s'agit en fait d'une généralisation de ce problème (avec alpha=2) Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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