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	Forum » Enigmes Mathématiques » Problème de divisibilité. (difficile) Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=rivas]Bonsoir shadock, Tous ces critères se démontrent (et se trouvent) de la même façon. Par contre, tu demandes une "démonstration" et la ça demande un petit peu de technique (pas trop quand même). L'idée est de couper le nombre en tranches de chiffres (de taille 1 éventuellement) et de faire un calcul sur ces tranches qui ne modifie pas la divisibilité: si le nouveau nombre est divisible l'original l'est aussi. Et idéalement on essaye que la divisibilité soit plus simple à démontrer sur le nouveau nombre. C'est ce que l'on fait pour le critère pour 9 par exemple: on ajoute tous les chiffres et si le nouveau nombre est divisible par 9 l'ancien l'était et bien sûr c'est plus simple à vérifier. Voici le raisonnement pour 11 (le plus facile). Pour savoir si un nombre est divisible par 11, on regarde à quoi il est congru modulo 11. Si on trouve 0, c'est qu'il l'est. On cherche donc une opération qui simplifie le nombre d'origine sans modifier sa "classe de congruence". Tout nombre N peut s'écrire: [latex]N=\sum{a_k10^k}[/latex] en base 10, les ak en étant donc les chiffres. [latex]10 \equiv -1 [11][/latex] donc [latex]N \equiv \sum{a_k(-1)^k} [11][/latex] Que veut dire cette écriture? Cela veut dire que si on prend la somme des chiffres de rang pair en comptant à partir des unités moins la somme des chiffres de rang impair, le nouveau nombre obtenu appartient à la même classe de congruence modulo 11 et donc est divisible par 11 si et seulement le nombre original l'est. Cela nous donne le critère. Dans le cas de 20196: 6+1+2-9-0=0. 0 est divisible par 11, 20196 l'est donc aussi. On fait de la même façon pour le critère par 7 mais le résultat est un peu plus compliqué. En effet les puissances de 10 modulo 7 donnent toutes des résultats différents: 1,3,2,-1,-3,-2 dans l'ordre pour 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000 puis de nouveau 1,3,2,-1,-3,-2. Le critère est donc de prendre les chiffres à partir des unités en multipliant chacun par 1,3,2,-1,-3,-2 respectivement et regarder si le nombre obtenu est divisible par 7. Ex: 321088491661: 11+36+26-11-39-24 + 18+38+20-11-32-23=14 14 est divisible par 7, 321088491661 l'est aussi. C'est le critère le plus connu pour 7. Mais on peut en utiliser un autre. En groupant les chiffres par 3. On écrit donc: [latex]N=\sum{a_k1000^k}[/latex] en base 10, les ak en étant donc les groupes de 3 chiffres. [latex]1000 \equiv -1 [7][/latex] donc [latex]N \equiv \sum{a_k(-1)^k} [7][/latex] Cela nous donne un critère semblable à celui pour 11 mais en travaillant par groupes de 3 chiffres. Pour 321088491661, cela donne: 321088491661 est divisible par 7 ssi 661-491+88-321=-63 l'est. Ce critère est un peu plus difficile à utiliser à cause des additions et soustractions à 3 chiffres, mais permet d'éviter d'hésiter entre 1,3,2,.... Pour les 3 derniers chiffres, on peut utiliser le critère à 1 chiffre: 1,3,2, ... Pour 137, toujours la même méthode. Les coefficients à utiliser sont les restes des divisions des puissances de 10 par 137: 1, 10, 100, 41, -1, -10, -100, -41. 48892423 est divisible par 137 ssi 31+210+4100+241-91-810-8100-441=-548 l'est. On remarque que on peut simplifier: on prend le nombre formé des 3 premiers chiffres (en partant de la droite) tels quels et on ajoute 41 fois le 4eme, puis on soustrait le nombre formé des 3 chiffres suivants et on soustrait 41 fois le suivant, ... Pas très simple pour 137. 423+241-889-441=-548 divisible par 137. On peut aussi appliquer la méthode du groupement par 4 chiffres: Comme [latex]10000 \equiv -1 [137][/latex], on scinde le nombre en paquets de 4 chiffres (depuis la droite) on prend le premier, on soustrait le suivant, on ajoute le suivant, ... et on regarde si le nouveau nombre, plus simple, est divisible par 137. Pour ce dernier nombre de 4 chiffres, on peut garder les centaines et ajouter 41 fois les milliers pour réduire encore le nombre. Pour 48892423, on calcule: 2423-4889=-2466 puis 466+241=548. ATTENTION: Le changement de signe ci-dessus modifie la classe de congruence mais pas le critère de divisibilité. En effet celui-ci revient à chercher si le nombre est dans la classe de 0 et dans ce cas, son opposé aussi. A noter que pour ce critère, il vaut mieux connaître par coeur les premiers mutiples de 137.... J'espère que cela répond à tes questions. A bientôt.[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez à la devinette suivante : Le père de toto a trois fils : Tim, Tam et ?* Retour Résumé de la discussion shadock 10-11-2010 16:54:05 Dans cette énigme, il sagit de réfléchir sur des méthodes qui sans calculatrice peuvent nous aider plus d'une fois. 1) Tout nombre est divisible par 1 donc pas de critères de divisibilités compliqués. 2) Tout nombre est divisible par deux ssi il est pair etc... et vous connaissez la suite, jusqu'a 10 pour les nombre (1;2;3;4;5;6;8;9) Question 1 : A l'école on nous a tous (je pense) appris que pour savoir si un nombre est divisible par 7 il faut le faire à la calculatrice, mais dans un examen où vous n'en n'avez pas comment feriez vous : Pour prouver que 321088491661 est divisible par 7? (le but étant de ne pas perdre de temps donc de le faire au plus vite) Question 2 Prouver sans faire de division euclidienne que : 20196 est divisible par 11. Question 3 Prouver que 48892423 est divisible par 137. L'énigme est faite pour ceux qui ne save plus quoi faire en maths elle est difficile pour ceux qui n'y connaisse pas grand chose (facile pour ceux qui connaisse des règles de division) ce sont les démonstration qui je pense sont difficiles, mais n'ayant je ne pense pas le niveau loin de là, je ne peux pas faire de démonstration, mais juste admirer ces résultalts surprenants. Si vous n'arrivez pas à faire les démonstrations, mettez au moins la méthode ou les méthodes que vous utilisez. NB : Pour le titre de l'énigme, je n'ai pas vraiment eu une bonne idée je ne sais pas si ça correspond à ce que vous pouviez attendre. Shadock Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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