Jette-donc un oeil ici: http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=6424

D'après ce que je présentais sur cette page:
7 | 321088491661 ssi 7 | 32108849171,
3210884922,
321088502,
32108860,
3210886,
321118,
32151,
3220,
322,
42,
14, que 7 divise bien

20196 divisible par 11 ? oui vu que 6-9+1-0+2 = 0

48892423 par 137 ?
D'après l'autre page, on ôte le dernier chiffre, on enlève 4fois ce chiffre au nouveau nombre et on ajoute autant de 100aines:
48892423
4889530
488953
49183
5206
1096
685
548
822
274
On remarque que c'est le double de 137 pour s'arreter là

Soit n un nombre naturel
n=$a\times 1000000000 +b\times 1000000 +c\times 1000 + d$
on a 1000000 mod 7 = 1 mod 7 et 1000000000=1000 = -1 mod 7
n mod 7=-a+b-c+d mod 7

donc dans ce cas 32 108 849 661 mod ( 7) = -32+108-849+661mod(7)=-113 mod(7)=0 mod(7)
pour la divisibilité par 11 on fait la différence entre la somme des chiffre en place paire avec la somme des chiffres en place impaire et on regarde si c'est un multiple de 11

pour 20196
on a 2+1+6=9 et 9+0=9 donc 9-9=0 donc ce nombre est divisible par 11

pour la divisibilité par 137 n=a*10000+b
et 10000(137)=-1mod(137)
nmod(137)=-a+b mod(137)
pour 48892423
-4889+2423=-2466 (137)= -2466+1370+1730(137)=274(137)=0(137)

Bonsoir shadock,

Tous ces critères se démontrent (et se trouvent) de la même façon.
Par contre, tu demandes une "démonstration" et la ça demande un petit peu de technique (pas trop quand même).
L'idée est de couper le nombre en tranches de chiffres (de taille 1 éventuellement) et de faire un calcul sur ces tranches qui ne modifie pas la divisibilité: si le nouveau nombre est divisible l'original l'est aussi. Et idéalement on essaye que la divisibilité soit plus simple à démontrer sur le nouveau nombre. C'est ce que l'on fait pour le critère pour 9 par exemple: on ajoute tous les chiffres et si le nouveau nombre est divisible par 9 l'ancien l'était et bien sûr c'est plus simple à vérifier.

Voici le raisonnement pour 11 (le plus facile).
Pour savoir si un nombre est divisible par 11, on regarde à quoi il est congru modulo 11. Si on trouve 0, c'est qu'il l'est. On cherche donc une opération qui simplifie le nombre d'origine sans modifier sa "classe de congruence".

Tout nombre N peut s'écrire: $N=\sum{a_k10^k}$ en base 10, les ak en étant donc les chiffres. $10 \equiv -1 [11]$ donc $N \equiv \sum{a_k(-1)^k} [11]$

Que veut dire cette écriture? Cela veut dire que si on prend la somme des chiffres de rang pair en comptant à partir des unités moins la somme des chiffres de rang impair, le nouveau nombre obtenu appartient à la même classe de congruence modulo 11 et donc est divisible par 11 si et seulement le nombre original l'est. Cela nous donne le critère. Dans le cas de 20196: 6+1+2-9-0=0. 0 est divisible par 11, 20196 l'est donc aussi.

On fait de la même façon pour le critère par 7 mais le résultat est un peu plus compliqué. En effet les puissances de 10 modulo 7 donnent toutes des résultats différents: 1,3,2,-1,-3,-2 dans l'ordre pour 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000 puis de nouveau 1,3,2,-1,-3,-2.
Le critère est donc de prendre les chiffres à partir des unités en multipliant chacun par 1,3,2,-1,-3,-2 respectivement et regarder si le nombre obtenu est divisible par 7.
Ex: 321088491661: 1*1+3*6+2*6-1*1-3*9-2*4  + 1*8+3*8+2*0-1*1-3*2-2*3=14
14 est divisible par 7, 321088491661 l'est aussi.
C'est le critère le plus connu pour 7. Mais on peut en utiliser un autre. En groupant les chiffres par 3.
On écrit donc: $N=\sum{a_k1000^k}$ en base 10, les ak en étant donc les groupes de 3 chiffres. $1000 \equiv -1 [7]$ donc $N \equiv \sum{a_k(-1)^k} [7]$
Cela nous donne un critère semblable à celui pour 11 mais en travaillant par groupes de 3 chiffres. Pour 321088491661, cela donne: 321088491661 est divisible par 7 ssi 661-491+88-321=-63 l'est. Ce critère est un peu plus difficile à utiliser à cause des additions et soustractions à 3 chiffres, mais permet d'éviter d'hésiter entre 1,3,2,.... Pour les 3 derniers chiffres, on peut utiliser le critère à 1 chiffre: 1,3,2, ...

Pour 137, toujours la même méthode. Les coefficients à utiliser sont les restes des divisions des puissances de 10 par 137: 1, 10, 100, 41, -1, -10, -100, -41.
48892423 est divisible par 137 ssi 3*1+2*10+4*100+2*41-9*1-8*10-8*100-4*41=-548 l'est. On remarque que on peut simplifier: on prend le nombre formé des 3 premiers chiffres (en partant de la droite) tels quels et on ajoute 41 fois le 4eme, puis on soustrait le nombre formé des 3 chiffres suivants et on soustrait 41 fois le suivant, ...
Pas très simple pour 137.
423+2*41-889-4*41=-548 divisible par 137.

On peut aussi appliquer la méthode du groupement par 4 chiffres: Comme $10000 \equiv -1 [137]$, on scinde le nombre en paquets de 4 chiffres (depuis la droite) on prend le premier, on soustrait le suivant, on ajoute le suivant, ... et on regarde si le nouveau nombre, plus simple, est divisible par 137. Pour ce dernier nombre de 4 chiffres, on peut garder les centaines et ajouter 41 fois les milliers pour réduire encore le nombre.
Pour 48892423, on calcule: 2423-4889=-2466 puis 466+2*41=548.
ATTENTION: Le changement de signe ci-dessus modifie la classe de congruence mais pas le critère de divisibilité. En effet celui-ci revient à chercher si le nombre est dans la classe de 0 et dans ce cas, son opposé aussi.
A noter que pour ce critère, il vaut mieux connaître par coeur les premiers mutiples de 137....

J'espère que cela répond à tes questions.
A bientôt.

Les règle de divisilité sont sur wiki, avec les bonnes explications !
Le principe de base est de remplacer un nombre "compliqué" par un nombre plus "simple" qui aura les mêmes critère de divisibilité. Si on recherche la divisibilité de A par p, et si A=B+ p * n, alors celà revient à chercher la divisibilité de B par p.

Je me suis amusé à chercher des critères "nouveaux" pour 7 et 11, pour 137, je sèche un peu !!!

Question 1 :
Pour prouver que 321088491661, j'essaierai de "réduire" progresivement ce nombre en "enlevant" des multiples de 7.

En partant de la droite : 1 est la terminaison de 21 dans la table de 7, je retranche donc 21 et je divise par 10, pour finalement obtenir 32108849164.
Je retranche 14 : 3210884915, puis 35 : 321088488, puis 28 : 32108846, puis 56 : 3210879, puis 49 : 321083 puis 63 : 32102,
puis 42 : 3206, puis 56 : 315, puis 35 : 28.

En fait, j'ai fait la division "par la droite" (j'obtiens 45869784523).

Autre technique : 98 est divisible par 7 donc si on écrit un nombre A=Ac * 100 + Au, A est divisible par 7 si et seulement si Ac*2+Au est divisible par 7.

On va donc faire la somme de chaque paquet de 2 chiffre pondéré de la puissance de 2 de leur rang.

Dans l'exemple, je fais la somme 61+2*16+4*49+8*88+16*10+32*32, où je remplace chaque terme par l'écart avec le multiple de 7 directement inférieur, pour avoir : 5+2*2+4*0+8*4+2*3+4*4=5+4+32+6+16, où je remplace chaque terme par l'écart avec le multiple de 7 directement inférieur : 5+4+4+6+2=21 : divisible par 7, youpie !

Sinon, on utilise la règle classique.

Question 2 :
Tant que l'on a un nombre avec 2 chiffres non nuls cote-à-cote, on va retrancher des multiples de 11 évidents pour avoir le maximum de 0 (et supprimer les 0 aux extrémités) :
20196 - 66 = 20130 qui devient 2013
2013 - 11 = 2002
Ensuite on sait que 1001 est multiple de 11, donc c'est OK.

D'une façon générale, la réduction par des multiples de 11 du type 1001, 100001, ..., 100...001 avec un nombre pair de 0, permet d'arriver soit à un multiple de 11 soit à : un nombre du type x0000..000y où le nombre de 0 est impair, qui n'est pas un multiple de 11 ou un nombre à 1 chiffre qui n'est pas un multiple de 11.

Sinon, on utilise la règle classique.

Question 3 :
On applique la règle.

Sinon, on multiplie 48892423 par 73, ce qui donne 3569146879, et on réduit par des multiples de de 10001 (=73 *137)
3569146879
2569046879
2169006879
2109000879
2101000079

ce qui au final ne donne pas grand chose

(1) 1000=-1[7] donc
321088491661=-321+088-491+661=29+4-1-39=-7=0[7]
(2) 10=-1[11] donc
20196=2-0+1-9+6=0[11]
(3) 10000=1[137] donc
48892423=-4889+2423=-2466=-1096=137*2=0[137]

J'imagine que ce sont des choses plus subtiles qui sont attendues...

Ce n'est pas tellement que j'aime la longueur (et d'ailleurs j'ai moins de temps maintenant), mais j'ai essayé d'expliquer la méthode en détail. Cela va bien au-delà de la divisibilité ce problème...
Merci à toi d'avoir posé cette énigme.