Je fais la démo en deux-deux pour les feignants

Dans le triangle rectangle reliant le diamètre au point du cercle touché par la perpendiculaire au diamètre :
$$(1 + \pi)^2 = a^2 + b^2$$
Où a et b sont les longueurs des côtés respectivement à gauche et à droite sur la figure.

On considère qu'on ne connaît pas la longueur du segment perpendiculaire au diamètre, bien entendu, alors on va l'appeler r (je l'appelle comme je veux).

Alors $a^2 = 1 + r^2$ et $b^2 = \pi^2 + r^2$ dans les deux triangles rectangles ayant a et b comme hypoténuses respectives.

D'où $(1 + \pi)^2 = (1 + r^2) + (\pi^2 + r^2)$
$$1 + 2 \pi + \pi^2 = 1 + 2 r^2 + \pi^2$$
$$r = \sqrt{\pi}$$
Très simple à démontrer, et très surprenant en effet... A garder pour un exercice de seconde ou de première (selon qu'on détaille les étapes dans les questions ou que l'on demande directement "prouver le résultat").

Au bah de 4eme 3eme à BAC+1 ou 2 je pense mais une grande partie est accessible, suffit de lire tranquilement et calmement en réchéflissant comme aurais Coluche.

Cela faisait déjà plusieurs mois que je l'avais lu et je n'avais pas pensé vous le faire partager. C'est pas très facile à comprendre mais très interessant