Au bah de 4eme 3eme à BAC+1 ou 2 je pense mais une grande partie est accessible, suffit de lire tranquilement et calmement en réchéflissant comme aurais Coluche.

Je fais la démo en deux-deux pour les feignants

Dans le triangle rectangle reliant le diamètre au point du cercle touché par la perpendiculaire au diamètre :
[TeX](1 + \pi)^2 = a^2 + b^2[/TeX]
Où a et b sont les longueurs des côtés respectivement à gauche et à droite sur la figure.

On considère qu'on ne connaît pas la longueur du segment perpendiculaire au diamètre, bien entendu, alors on va l'appeler r (je l'appelle comme je veux).

Alors [latex]a^2 = 1 + r^2[/latex] et [latex]b^2 = \pi^2 + r^2[/latex] dans les deux triangles rectangles ayant a et b comme hypoténuses respectives.

D'où [latex](1 + \pi)^2 = (1 + r^2) + (\pi^2 + r^2)[/latex]
[TeX]1 + 2 \pi + \pi^2 = 1 + 2 r^2 + \pi^2[/TeX]
[TeX]r = \sqrt{\pi}[/TeX]
Très simple à démontrer, et très surprenant en effet... A garder pour un exercice de seconde ou de première (selon qu'on détaille les étapes dans les questions ou que l'on demande directement "prouver le résultat").