Les $\phi_{P}$ sont plutôt définis seulement sur $\mathbb{Q}^{*}_{+}$.

Soit P un polynôme tel que $\phi_{P}$ est croissante.

Soit p premier.

Soit $n\in\mathbb{N}$ tel que $p\leq 2^{n}$.
Par croissance, on a: $\phi_{P}(p)\leq \phi_{P}(2^{n})$
Donc $P(p)\leq n.P(2)$.
On peut choisir $n=E(\frac{ln(p)}{ln(2)})+1$.   (où $E(x)$ est la partie entière de $x$).

On a alors: $P(p)\leq \big(E(\frac{ln(p)}{ln(2)})+1\big).P(2)$.

En regardant le comportement à l'infini, on en déduit que P est constant (P ne peut être négatif à l'infini, sinon ça contredit la croissance de $\phi_{P}$).

Le seul polynôme constant qui rend $\phi_{P}$ croissante est le polynôme nul.

J'ai vu quelque part qu'une fonction croissante ou continue qui vérifiait
$$f(ab)=f(a)+f(b)$$
était une fonction logarithme.

Yanyan a écrit:

J'ai vu quelque part qu'une fonction croissante ou continue qui vérifiait
$$f(ab)=f(a)+f(b)$$
était une fonction logarithme.

Tout à fait.