Les [latex]\phi_{P}[/latex] sont plutôt définis seulement sur [latex]\mathbb{Q}^{*}_{+}[/latex].

Soit P un polynôme tel que [latex]\phi_{P}[/latex] est croissante.

Soit p premier.

Soit [latex]n\in\mathbb{N}[/latex] tel que [latex]p\leq 2^{n}[/latex].
Par croissance, on a: [latex]\phi_{P}(p)\leq \phi_{P}(2^{n})[/latex]
Donc [latex]P(p)\leq n.P(2)[/latex].
On peut choisir [latex]n=E(\frac{ln(p)}{ln(2)})+1[/latex].   (où [latex]E(x)[/latex] est la partie entière de [latex]x[/latex]).

On a alors: [latex]P(p)\leq \big(E(\frac{ln(p)}{ln(2)})+1\big).P(2)[/latex].

En regardant le comportement à l'infini, on en déduit que P est constant (P ne peut être négatif à l'infini, sinon ça contredit la croissance de [latex]\phi_{P}[/latex]).

Le seul polynôme constant qui rend [latex]\phi_{P}[/latex] croissante est le polynôme nul.

J'ai vu quelque part qu'une fonction croissante ou continue qui vérifiait
[TeX]f(ab)=f(a)+f(b)[/TeX]
était une fonction logarithme.

Yanyan a écrit:

J'ai vu quelque part qu'une fonction croissante ou continue qui vérifiait
[TeX]f(ab)=f(a)+f(b)[/TeX]
était une fonction logarithme.

Tout à fait.