Pas d'idées? Ben moi non plus...

Déjà , $\mathbb{N}$ est-il la moitié de $\mathbb{Z}$ ? ben non , ils sont en bijection donc équipotents !

On peut comparer tout ce que l'on veut à condition de préciser les critères

Vasimolo

Je me suis mal exprimé

Selon ton raisonnement appliqué à la dimension 1 , $\mathbb{R}_+$ devrait mesurer la moitié de $\mathbb{R}$

On considère la bijection $f$ de $\mathbb{R}_+$ dans $\mathbb{R}$ qui envoie $[2n;2n+1[$ sur $[n;n+1[$ par $f(x)=x-n$ et $[2n+1;2n+2[$ sur $[-n-1;-n[$ par $f(x)=x-3n-2$ . La mesure de $\mathbb{R}$ est celle de $f(\mathbb{R}_+)$ mais aussi celle de $\mathbb{R}_+$ car $f$ en voie chaque segment $[n,n+1[$ sur un segment de même taille , bref la sigma-additivité ne fonctionne plus ou alors deux segments de même longueur n'ont plus la même mesure et on perd l'invariance par translation .

Bref il y a un petit problème

Vasimolo

Je pense qu'il faudrait considérer comme mesurable seulement les parties d'aires classiques infinies si on veut avoir une chance. Car une partie d'aire finie devrait avoir une mesure relative nulle et par sigma-additivité le plan également.

Avec ces parties mesurables on perd le passage au complémentaire.
Donc plus de tribu, juste un ensemble stable par union finie ou dénombrable.
Tout cela semble bien pauvre...
Mais j'aimerai bien donner un sens à la surface délimitée par l'axe des abscisses est la parabole classique x associe x² par exemple.

On aimerait bien garder l'invariance par translation sinon c'est assez facile (lire mon premier commentaire avec les intégrales).