Best of : les problèmes de math @ Prise2Tete

racine · #1

Bonjour,

La petite énigme que j'ai posté sur les spirales avait une solution élégante. Il y a pas mal de problèmes de math dans le genre qui ont des solutions élégantes.
Alors, pour vous, quel est le problème que vous avez rencontré qui a la plus belle solution.

PS: si le problème n'est pas déjà sur le site, mettez le en énigme.

racine · #2

Gagnant du post flop de l'année.

Vasimolo · #3

D'un autre côté on a eu droit à quelques belles énigmes mathématiques ces derniers temps et il est difficile de choisir une seule énigme qui dépasserait toutes les autres .

Si je devais quand même proposer quelque chose , je rappellerais ce problème que j'avais construit en m'inspirant d'un magazine de bricolage . J'avoue qu'aujourd'hui encore il me surprend .

http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=4649

Je l'avais proposé sur le site à une époque où j'étais en conflit avec pas mal de monde ( pour expliquer l'insolence dont je faisais preuve ainsi que le ton de certaines réponses ) .

Mesurer des angles à la règle et en plus en lecture directe : toute personne qui apprécie un peu les maths ne peut qu'en rester baba

Vasimolo

MthS-MlndN · #4

Visiblement, c'était à une période où je n'étais en conflit avec strictement personne. (hrem)

Vasimolo · #5

Il est quand même rassurant de voir qu'avec le temps tout est à peu près rentré dans l'ordre . Nous sommes tous passionnés et cela génère des frottements ( aucune allusion grivoise )

Vasimolo

shadock · #6

Je recherche un résultat qui avait été posé sur ce site il y a au moins un deux ans environs par L00ping007 je crois.

Je ne me rappel plus du résultat exact mais il avait la forme suivante :
[TeX]\sum_{pgcd(p,q)=1} \frac{1}{p^2q^2}=\frac{2}{5}[/TeX]
Si une âme charitable...

shadock · #7

J'ai trouvé un exercice malheureusement sans la correction il faudra donc que je cherche encore dans les sujets de P2T...

Ce qui est écrit au post précédent est faux, c'est ceci :
[TeX]\sum_{(p,q) \in \mathbb{N}^* et p \wedge q=1} \frac{1}{p^2q^2}=\frac{5}{2}[/TeX]

masab · #8

Notons [latex]A[/latex] la quantité à calculer.

En étudiant [latex]\left(\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}\right)^2\ \,[/latex] on trouve aisément
[TeX]\left(\frac{\pi^2}{6}\right)^2=A\times\frac{\pi^4}{90}[/TeX]
d'où
[TeX]A=\frac{5}{2}[/TeX]
Voilà !

MthS-MlndN · #9

Je veux bien que tu détailles légèrement la partie "aisée" de la démo...

masab · #10

[TeX]\left(\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}\right)^2 = \left(\sum_{p\geq 1}\frac{1}{p^2}\right)\times\left(\sum_{q\geq 1}\frac{1}{q^2}\right) = \sum_{p,q\geq 1}\frac{1}{p^2q^2}[/TeX]
Ensuite on note [latex]k=p \wedge q[/latex] ainsi que [latex]p=kp',\ q=kq'[/latex] où [latex]k\geq 1[/latex] et [latex]p' \wedge q'=1[/latex]

On remarque que l'application [latex](p,q)\mapsto (k,p',q')[/latex] est bijective.
Par suite
[TeX]\left(\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}\right)^2 = \sum_{k\geq 1}\sum_{p' \wedge q'=1}\frac{1}{(kp')^2(kq')^2} = \sum_{k\geq 1}\sum_{p \wedge q=1}\frac{1}{k^4p^2q^2}[/TeX][TeX]\left(\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}\right)^2 = \left(\sum_{k\geq 1}\frac{1}{k^4}\right)\times\left(\sum_{p \wedge q=1}\frac{1}{p^2q^2}\right)[/TeX][TeX]\left(\frac{\pi^2}{6}\right)^2=\frac{\pi^4}{90}\times A[/TeX][TeX]A=\frac{5}{2}[/TeX]
Voilà !

shadock · #11

Moi je veux bien qu'on me détaille un peu plus :

[latex]\left(\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}\right)^2 = \left(\sum_{k\geq 1}\frac{1}{k^4}\right)\times\left(\sum_{p \wedge q=1}\frac{1}{p^2q^2}\right)[/latex]

En tout cas merci pour la démo

masab · #12

Voir mon message précédent où je détaille davantage.

shadock · #13

D'accord, c'est toujours un peu flou pour moi mais je vais regarder ça tranquillement ce week-end. Mon prof de maths m'a dit que c'était hors programme pour les PC et à la limite du programme pour les MP, alors j'ai une petite question supplémentaire que désigne n dans ta première égalité parce que j'ai du mal à comprendre la première égalité

Merci

masab · #14

J'ai détaillé la première égalité.
[latex]n,p,q[/latex] désignent des entiers [latex]\geq 1[/latex] (variables muettes)

shadock · #15

Merci bien

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