J'ai détaillé la première égalité.
$n,p,q$ désignent des entiers $\geq 1$ (variables muettes)

Voir mon message précédent où je détaille davantage.

$$\left(\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}\right)^2 = \left(\sum_{p\geq 1}\frac{1}{p^2}\right)\times\left(\sum_{q\geq 1}\frac{1}{q^2}\right) = \sum_{p,q\geq 1}\frac{1}{p^2q^2}$$
Ensuite on note $k=p \wedge q$ ainsi que $p=kp',\ q=kq'$ où $k\geq 1$ et $p' \wedge q'=1$ 

On remarque que l'application $(p,q)\mapsto (k,p',q')$ est bijective.
Par suite
$$\left(\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}\right)^2 = \sum_{k\geq 1}\sum_{p' \wedge q'=1}\frac{1}{(kp')^2(kq')^2} = \sum_{k\geq 1}\sum_{p \wedge q=1}\frac{1}{k^4p^2q^2}$$ $$\left(\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}\right)^2 = \left(\sum_{k\geq 1}\frac{1}{k^4}\right)\times\left(\sum_{p \wedge q=1}\frac{1}{p^2q^2}\right)$$ $$\left(\frac{\pi^2}{6}\right)^2=\frac{\pi^4}{90}\times A$$ $$A=\frac{5}{2}$$
Voilà !

Notons $A$ la quantité à calculer.

En étudiant $\left(\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}\right)^2\ \,$ on trouve aisément
$$\left(\frac{\pi^2}{6}\right)^2=A\times\frac{\pi^4}{90}$$
d'où
$$A=\frac{5}{2}$$
Voilà !

Je recherche un résultat qui avait été posé sur ce site il y a au moins un deux ans environs par L00ping007 je crois.

Je ne me rappel plus du résultat exact mais il avait la forme suivante :
$$\sum_{pgcd(p,q)=1} \frac{1}{p^2q^2}=\frac{2}{5}$$
Si une âme charitable...