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	Forum » Enigmes Mathématiques » Polynome de degré 2 à 3 solutions Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=MthS-MlndN]Je repars de la fonction originelle : [latex]\frac{(x - a)(x - b)}{(c - a)(c - b)} + \frac{(x - b)(x - c)}{(a - b)(a - c)} + \frac{(x - a)(x - c)}{(b - a)(b - c)}[/latex] Je mets tout au même dénominateur : [latex]\frac{(x - a)(x - b)(a-b)+(x - b)(x - c)(b-c)+(x-a)(x-c)(c-a)}{(a - b)(a - c)(b-c)}[/latex] Je développe le numérateur : [latex]\frac{(x^2 - (a+b)x+ab)(a-b)+(x^2 - (b+c)x+bc)(b-c)+(x^2-(a+c)x+ac)(c-a)}{(a - b)(a - c)(b-c)}[/latex] Les termes en [latex]x^2[/latex] disparaissent vite : [latex]x^2(a-b)+x^2(b-c)+x^2(c-a)=0[/latex] Les termes en x : idem. [latex]- (a+b)(a-b)- (b+c)(b-c)-(a+c)(c-a)=-(a^2-b^2)-(b^2-c^2)-(c^2-a^2)=0[/latex] Il nous reste [latex]ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)=a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2[/latex] au numérateur. Au dénominateur : [latex](a - b)(a - c)(b-c) = (a^2-ab-ac+bc)(b-c) = a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2[/latex] aussi... [b]Le soi-disant polynome du second degré est en fait égal à un pour tout x.[/b][/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : Un berger a 40 moutons, ils meurent tous sauf 18, combien en reste-t-il ? Retour Résumé de la discussion EfCeBa 17-12-2010 22:42:45 Jean-Paul Delahaye propose dans son livre Paradoxes, un polynôme du second degré avec 3 solutions. Le voici : [TeX]\frac{(x - a)(x - b)}{(c - a)(c - b)} + \frac{(x - b)(x - c)}{(a - b)(a - c)} + \frac{(x - a)(x - c)}{(b - a)(b - c)} = 1[/TeX] Il s'agit d'une somme de polynomes de degrés 2, donc un autre polynome de degré 2 et on voit clairement que x = a, x = b, et x = c sont solutions. Une explication ? Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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