Si le polynôme a trois racines distinctes c'est qu'il est nul, donc la somme des trois polynôme doit se simplifier pour donner  1

Ce n'est pas un polynôme mais une équation
Le terme de gauche -1 peut être vu comme un polynôme, et dans ce cas, l'exercice est: l'équation P(x)=0 à 3 solutions ou le polynôme P (ou P(X)) à 3 racines réelles. Je sais, je chipote

Le polynôme P est à priori de degré inférieur ou égal à 2 (il ne peut pas être de degré > 2 vu son écriture) et non pas 2. Or l'équation à 3 solutions (ou le polynome 3 racines). Elle a donc une infinité de solution et P(x) est le polynôme nul. Il n'y a aucun paradoxe.

Amusant. Merci pour l'énigme.

Je pense qu'en réduisant au même dénominateur on arrive à 1=1. Ce n'est donc pas un polynôme du second degré mais le polynôme nul qui admet tout nombre comme solution.
Pour info une somme de polynômes de degré 2 donne un polynôme de degré INFÉRIEUR OU ÉGAL À 2!
(Je dis ça sans faire les calculs mais grâce aux théorèmes =)

Une équation du second degré devrait admettre 2 racines, qui peuvent être irrationnelles  ou égales.

Cette équation est très jolie et effectivement, il semble que a, b ou c sont racines de cette équation du second degré. Pour éviter une contradiction avec le théorie, il faut que a=b par exemple; mais cela n'a pas beaucoup de sens de privilégier ces deux valeurs donc a=b=c mais pourquoi restreindre? La seule solution pour éviter le paradoxe est de montrer que la proposition est vrai quelque soit x.

On met tout cela avec le même dénominateur et on développe...
[TeX]\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}\times\frac{(a-b)}{(a-b)}+\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}\times\frac{(b-c)}{(b-c)}+\frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}\times\frac{(a-c)}{(a-c)}[/TeX]
attention aux signes
[TeX]=\frac{(x-a)(x-b)}{(a-c)(b-c)}\times\frac{(a-b)}{(a-b)}+\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}\times\frac{(b-c)}{(b-c)}-\frac{(x-a)(x-c)}{(a-b)(b-c)}\times\frac{(a-c)}{(a-c)}[/TeX]
on développe le numérateur
[TeX]=\frac{[x^2-(a+b)x+ab](a-b)+[x^2-(b-c)x+bc](b-c)-[x^2-(a+c)x+ac](a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)}[/TeX][TeX]=\frac{x^2[a-b+b-c-a+c]-x[(a+b)(a-b)+(b+c)(b-c)-(a+c)(a-c)]+ab(a-b)+bc(b-c)-ac(a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)}[/TeX]
on note que [latex][a-b+b-c-a+c]= 0[/latex]
et aussi que [latex][(a+b)(a-b)+(b+c)(b-c)-(a+c)(a-c)]=[a^2-b^2+b^2-c^2-a^2+c^2]=0[/latex]

il reste donc
[TeX]=\frac{ab(a-b)+bc(b-c)-ac(a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)}[/TeX]
et l'on développe encore pour ce rendre compte que le numérateur est indique au dénominateur

Ce qui nous donne comme equation paradoxale:[latex] \fbox {1 = 1}[/latex]

il fallait que deux solutions soient con fondus cad c=a ou a=c ou b=a ou b=c.

si o developpe et simplifie ce polynome on obtiendra un polynome de degré 1 de solution(x=0).

Je repars de la fonction originelle :
[TeX]\frac{(x - a)(x - b)}{(c - a)(c - b)} + \frac{(x - b)(x - c)}{(a - b)(a - c)} + \frac{(x - a)(x - c)}{(b - a)(b - c)}[/TeX]
Je mets tout au même dénominateur :
[TeX]\frac{(x - a)(x - b)(a-b)+(x - b)(x - c)(b-c)+(x-a)(x-c)(c-a)}{(a - b)(a - c)(b-c)}[/TeX]
Je développe le numérateur :
[TeX]\frac{(x^2 - (a+b)x+ab)(a-b)+(x^2 - (b+c)x+bc)(b-c)+(x^2-(a+c)x+ac)(c-a)}{(a - b)(a - c)(b-c)}[/TeX]
Les termes en [latex]x^2[/latex] disparaissent vite : [latex]x^2(a-b)+x^2(b-c)+x^2(c-a)=0[/latex]

Les termes en x : idem. [latex]- (a+b)(a-b)- (b+c)(b-c)-(a+c)(c-a)=-(a^2-b^2)-(b^2-c^2)-(c^2-a^2)=0[/latex]

Il nous reste [latex]ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)=a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2[/latex] au numérateur.

Au dénominateur : [latex](a - b)(a - c)(b-c) = (a^2-ab-ac+bc)(b-c) = a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2[/latex] aussi...

Le soi-disant polynome du second degré est en fait égal à un pour tout x.

Prenons la logique par le bon bout. Si le polynôme en question a 3 solutions, c'est que soit a=b (ou autre), soit l'équation est en fait 1=1 et il y a en réalité une infinité de solutions. Comme on ne peut pas avoir a=b, je pencherais plutôt pour l'autre hypothèse. Le flemme de vérifier.

Le problème vient directement de "Il s'agit d'une somme de polynômes de degrés 2, donc un autre polynôme de degré 2 " ... c'est complétement faux. Le membre de gauche est un polynôme de degré inférieur ou égal a 2 (que je noterais P sans le répété parce que j'ai pas le courage de tout réécrire ^^) et donc on a P-1 qui est un polynôme de degrés inférieur ou égal a deux qui a plus de 3 racines (on a pas montré qu'il n'y en avais que 3) et le seul polynôme vérifiant ca est le polynôme nul (plusieurs démos pas très dur a trouvé) on peut donc conclure qu'en faites P=1.

Je n'es pas vérifié par les calculs mais de toute façon c'est inutile et fastidieux et puis comme on dit les maths c'est pas des calculs


Deuxième solutions si on veut vraiment faire des calculs mais sans trop se prendre la tête avec des grosses formules : on calcul la dérivé seconde de P en partant du principe que c'est forcément une constante puisque P est de degré inférieur ou égal a 2 (cela simplifie les calculs que je n'es toujours pas envie de faire ^^) on trouve 0. Donc la dérivé de P est une constante (ce qui prouve par la même occasion que P est de degré inférieur ou égal a 1) et toujours en partant du même principe la dérivé de P se calcul plus facilement et on trouve une fois de plus 0 et donc P est une constante ... il suffit ensuite le l'évaluer en n'importe quel réel (a b ou c pour pas se prendre la tête) et on trouve comme dit dans le sujet : 1. Donc P est constant et égal a 1.

Il y a bien sur de nombreuses autres solutions pour ce problème mais je crois que je me suis assez étalé sur le sujet comme ca XD.


Conclusion : "ne pas se fier au apparences" s'applique aussi en maths


P.S: J'ai associé polynôme et fonction polynomiale qui sont deux choses bien différentes et sans vouloir te vexé ef' ce que tu a écris n'est pas un polynôme mais bien une équation (c'est très différent). Et il aurait été plus logique de parler des racines du polynômes P-1 ou des solutions de l'équation ... faut faire attention au mots qu'on utilise en maths

P.P.S : Désolé si y'a quelques fautes ... il est tard !

l'arnaque de l'énoncé est de dire que le degré est 2. En fait le degré est d'au plus deux.
Comme il y a au moins 3 racines incontestables, c'est qu'en fait le polynome doit nécessairement se simplifier en le polynome constant 0(x).

C'est quoi alors le sens du degré d'un polynôme si le coeff du degré peut-être nul ;-) ?

désolé EfCeBa mais je suis sur a 99% (oui il y a 1% pour l'humilité quoi ) que le degré d'un polynôme P= somme[k=1 à n] ( a(k)*X^k)  est définit par max(k | a(k) est non nul) sans ca il n'y aurait pas unicité du degré et ca .... c'est très problématique !

Et la propriété est deg(P+Q)=< max (deg (P); deg (Q))   (il y a égalité si les deg des polynômes donc différents ou si les coefficient dominants ne sont pas opposé

P.S: le degré du polynome 0 est égale a -l'infini !