r=0.5 cm
Construction par inversion, pôle (0,2) puissance 8, par exemple.
L'image du petit cercle est un cercle de rayon 1 entre 2 droites parallèles,
tangent à un autre cercle (son centre est à y=-1, distance à O=3 cm).
Ça donne les points de tangence qui se ramènent par l'inversion.
Le centre du petit cercle est à $\sqr2, \frac12$

@halloduda: professionnel de P2T, mais surtout expert en maths !

@naddj: c'est la bonne réponse, mais l'explication manque cruellement de rigueur.

Je préférais l'autre énigme, x était plus facile à trouver

Soient A le centre du grand cercle et B le centre du petit cercle. Soit H le projeté de B sur (AC). Soit r le rayon du petit cercle.
Alors on a (en cm):
AC=1, AB=1+r, BC=2-r, CH=r, AH=1-r.

Par Pythagore dans ABH:
BH² = AB²-AH² = (1+r)²-(1-r)² = 4r
Par Pythagore dans CBH:
BH² = BC²-CH² = (2-r)²-r² = 4-4r

Donc 4r=4-4r, ce qui donne r=1/2 (cm).


Je connais un prof au collège, je vais lui dire de donner ça à ses élèves, après tout ils ont toutes les connaissances nécessaires


Edit: Petite erreur de calcul corrigée...

Je pose 2 equations, et je trouve:
X = 1/2

Spoiler : [Afficher le message]  Je me permet de mettre quelques repères sur la figure :
               
Dans le triangle ABC nous connaissons AC = x et AB = 2-x.
Dans le triangle ADE nous connaissons DE = 1-x et AE = 1+x.
En utilisant Pythagore, écrivons l'égalité de BC et DA :

(2-x)² - x² = (1+x)² -(1-x)²
4+x²-4x - x² = 1+x²+2x - (1+x²-2x),
4 - 4x = 4x

soit  x = 1/2

Bravo et merci, je ne m'attendais pas à trouver une réponse aussi simple, mais j'aime bien quand le résultat tombe "juste".