J'ai fais trois ans de prépa mais je ne sais pas ce qu'un polynôme composé est

Bon et bien j'attends la solution.

P(n) = n2 + n + 41 est premier pour tous les nombres entiers positifs strictement inférieurs à 40 (bien sûr, si n est un multiple de 41, P(n) sera lui aussi un multiple de 41, et donc non premier). D'ailleurs, 41 est le plus grand « nombre chanceux d'Euler », c'est-à-dire le plus grand entier A pour lequel le polynôme n2 + n + A est premier pour tous les n strictement inférieurs à A – 1 ; cela résulte du théorème de Stark-Heegner, un résultat de la théorie des corps de classes qui n'a été démontré qu'en 1967.

shadock

Bonjour,

1) Expérimentalement, il semble que l'on obtienne tous les nombres premiers congrus à 1 modulo 3 (à part 3)

Édité :
2) Si n est un carré, P[n) est composé, et vaut
(n+sqrt(n)+1)*(n-sqrt(n)+1)
La réciproque n'est pas vraie :
P(10) = 111 = 3*37

Édité (2) :
3) Toujours expérimentalement : 1 fois pour p==3, 2 fois pour p!=3

nodgim #7 a écrit:

Enigmatus a initialisé une réponse curieuse, avec p!=3. Sans doute faut il lire p différent de 3 ?

C'est exact (déformation informatique), mais je n'ai pas la démonstration.

Mieux, mais ça n'a pas été vu, P(n) est dans ce cas un produit P(a)*P(b) qu'il reste à trouver, et à justifier.

Si n=q**2, P(n) = (q**2-q+1)*(q**2+q+1)
donc P(n) = P(q)*P(-q)

Tu pinailles…
La somme des racines de P(n) vaut -1, donc P(-q) = P(q-1).
Heureusement que q-1 a le bon goût d'etre positif ou nul.

Il ne reste plus qu'à trouver l'explication de la question 3) et revenir ensuite sur la question 1).
Courage.

Moi j'appelle ça un polynôme scindé dans [latex]\mathbb{R}[/latex]

Polynôme scindé : polynôme qui peut s'écrire comme produit de polynômes du premier degré. On l'utilise beaucoup en maths. Par exemple une matrice est diagonalisable si son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Il faut qu'ils soient du premier degré, chose toujours vrai dans C et forcément moins dans R. En revanche est-ce que composé veut dire que ça peut être le produit de deux polynômes de degré différent de un?

Pour le 2) on peut également remarquer que :

P(3k+1) = (9k²+6k+1) + (3k+1) + 1 = 9k² + 9k + 3 = 3 x (3k²+3k+1)

Je donne la soluce.
On suppose que pour un p donné, il peut exister 2 nombres a et b tels que:
a²+a+1=0 [p]
b²+b+1=0 [p] avec 1<=a<b<p.
La différence vaut:
b²-a²+b-a=0 [p]
(b-a)(b+a+1)=0 [p]
b-a<p donc b+a+1=0 [p]
b=p-a-1.
Pour un p qui divise le polynome, il y a 2 valeurs pour 1<=n<p-1.

Comme b+a=p-1, et a<b, alors a<=(p-1)/2 et donc p>=2a+1

Pour un n²+n+1=p1*p2, n ne peut être la valeur min. pour p1 et p2 en même temps. Si n était la valeur min pour p1 et p2, alors p1>=2n+1 et p2>=2n+1 donc le produit p1*p2>n²+n+1, donc impossible.
Conséquence: La valeur min de n pour lequel un p donné divise n²+n+1 ne peut être valeur min pour 2 nombres premiers. Donc, les nombres premiers se découvrent 1 à la fois dans l'ordre croissant de n. Comme c'est toujours un nombre 6k+1 ou 3(6k+1) attendu, Il ne peut y avoir de produit p1=6k-1 et p2=6j-1.

CQFD.