(1÷8)^8×(1÷4)^12×(1÷2)^6
[TeX]\left(\frac{1}{8}\right)^8*\left(\frac{1}{4}\right)^{12}*\left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{18014398509481984}[/TeX]

Pour y voir plus clair et dénombrer toutes les combinaisons possibles, on va repeindre les cubes avec les trois faces blanches qui deviennent blanc, gris et noir et les trois faces en couleurs qui deviennent jaune, bleu et rouge.

Orienter un petit cube dans le grand cube revient à choisir la couleur d'une face (1 choix sur 6) puis de choisir la couleur d'une face adjacente (1 choix sur 4) soit 24 combinaisons par cube.

Probabilité d'avoir un cube-sommet qui apparait en couleur : il y a 3 choix possibles pour une face en couleur (jaune, bleu ou rouge) puis la rotation est imposée pour faire apparaitre les 2 autres faces colorés, donc 3 possibilités sur les 24 soit 1/8 chance par cube.
Il y a 8 cubes-sommet donc (1/8)^8 chance que les 8 cubes-sommet apparaissent tous colorés.

Probabilité d'avoir un cube-arête qui apparait en couleur : il y a 3 choix possibles pour une face en couleur, puis 2 choix pour la face adjacente, donc 6 possibilités sur les 24 soit 1/4 chance par cube.
Il y a 12 cubes-arête donc (1/4)^12 chance que les 12 cubes-arête apparaissent en couleur.

Probabilité d'avoir un cube-centre qui apparaît en couleur : il y a 3 choix pour la face visible puis 4 choix pour l'orientation, donc 12 possibilités sur les 24 soit 1/2 chance par cube.
Il y a 6 cubes-centre donc (1/2)^6 chance que les 6 cubes-centre apparaissent en couleur.

Le petit cube au cœur du gros n'a pas d'importance (on peut même ne pas le mettre que tu n'en saurais rien !).

Au final, la probabilité d'avoir le gros cube entièrement coloré est de (1/8)^8 x (1/4)^12 x (1/2)^6 = (1/2)^54

rem : on trouve donc une probabilité de (1/4)^27, qui correspond à une probabilité moyenne de 1/4 pour les 27 cubes de l'assemblage... Y avait-il un moyen "vasimolesque" d'arriver à ce résultat sans passer par le dénombrement pour chaque catégorie ?

Chaque cubes élémentaires à 24 orientations possibles différentes. Il y a 6 possiblités pour la face vers le bas et pour chacune de ses possibilités, 4 choix rotations possibles autour de l'axe vertical.

Pour chacun des 8 cubes de coin, 3 de ces 24 orientations permettent de voir 3 faces colorées.
Pour chacun des 12 cubes au centre d'une arête, 6 de ces 24 orientations permettent de voir 2 faces colorées (3 possibilités pour la première face visible * 2 possibilités pour la seconde).
Pour chacun de 6 cubes au centre d'une face, 12 ces 24 orientations permettent de voir 1 face colorée (3 possibilités pour la face visible * 4 rotations).

A ne pas oublier: pour le cube central: les 24 orientations permettent d'obtenir le résulat attendu, on peut donc soit le prendre en compte, soit l'ignorer.

On considère donc un assemblage réalisé. La probabilité que le cube soit entièrement coloré est de:
[TeX]\dfrac{3^8.6^{12}.12^6}{24^{26}}[/TeX]
La facteur 3 apparait à chaque fois au numérateur et au dénominateur à la même puissance (3/24, 6/24, 12/24) ou peut donc simplifier.
Il reste:
[latex]p=\dfrac{2^{12}.4^6}{8^{26}}=\dfrac1{2^{54}} \approx 5,6.10^{-17}[/latex].

C'est à dire pas grand chose.

Il me reste un doute sur mon calcul. Je vais y repenser. Pourquoi ne pas avoir mis de case réponse?

Merci pour cette énigme.

J'ai ajouté une case réponse pour ceux qui veulent vérifier leurs calculs avant de poster

Vasimolo

Pour commencer quelque part, je dirais qu'il y a 24 façons de disposer chaque dé, qu'on peut dénombrer en considérant laquelle des six faces est vers le haut (ou n'importe où ailleurs, c'est juste un choix de dénombrement) et quelle est l'orientation des quatre faces qui l'entourent. (Faites l'essai avec un dé à jouer pour voir le délire : vous pouvez mettre le 1 en haut et une des quatre autres faces 2, 3, 4 ou 5 face à vous, ou le 2 en haut et 1, 3, 4 ou 6 en face de vous, etc.)

Seules trois de ces façons conviennent pour chacun des huit dés qui sont aux coins du grand cube (quelle que soit la face colorée qui apparait face à vous, par exemple, sur le dé qui est à l'avant, en bas et à gauche, une et une seule des quatre rotations possibles permettent de faire apparaître les deux autres faces colorées). Donc, trois possibilités sur 24, soit une chance sur 8, pour chacun des 8 dés d'angles.

Pour les 12 qui sont "entre deux coins", donc qui montrent deux faces colorées, il y a 6 façons sur 24 de faire apparaître ces deux faces colorées (trois possibilités pour une des deux faces colorées, et pour chacune d'elles, deux rotations qui font apparaitre une des deux autres au bon endroit). Donc une chance sur 4 pour chacun des 12 dés de côtés.

Pour les 6 dés centraux, une chance sur deux, tout simplement, parce qu'une face sur deux est colorée sur chaque dé.

Et celui du milieu, bah on s'en cogne

Donc une proba finale de (1/8)^8*(1/4)^12*(1/2)^6, soit 5,55*10^(-17) que la case réponse me valide

Très rapidement, et sauf erreur très possible de ma part (en général, je ne suis pas très attentif ) :

1/8 * (1/4) ^ 6 * (1/2) ^ 12 = (1/2) ^ 27 = 1/134217728

Je ne vois pas l'intérêt de faire la division ?

Bonjour,
Pour chaque dé, j'ai 6 x 4 = 24 positionnements possibles, donc pour l'ensemble des 27 dés du cube, cela donne 24^27.
J'ai trois types de dés (avec leur nombre respectif de positionnements possibles entre parenthèses): 8 sommets (avec 3), 12 arêtes (avec 6) et 6 centres (avec 12), donc en tout cela donne 3^8 x 6^12 x 12^6 possibilités.
Je n'oublie pas de multiplier le tout par 6 x 4 = 24 pour tenir compte des identités par rotations du cube.
La probabilité recherchée est de: P = 1 / 2^54 = 5,55 x 10^(-17) env. qui est validée par la case réponse.
Bonne journée.

Vasimolo a écrit :
Quelle est la probabilité pour que l'assemblage de ces 27 cubes laisse apparaître un cube complètement coloré ?

J'avais sous entendu "selon la vue ci- dessus.", c'est à dire sur les 3 faces visibles !

Évidemment, si on veut que se soit sur toutes les faces, y compris sur la face d'appui qui reste invisible quand on tourne autour, ce n'est plus (1/2)^27, mais son carré soit
                                               (1/2)^54